Atividades sobre vetores no GeoGebra

Atividade 1: Crie um controle deslizante sobre a janela de visualização, de nome a. Crie um vetor a partir da origem, de nome u. No campo de entrada, digite a * u e dê Enter.

a)     Quando au é maior do que u? Quando é menor? Quando os tamanhos são iguais?

b)     Quando o sentido de au é diferente do de u?

Atividade 2: Vamos explorar o espaço de vetores gerado por dois vetores.

a)     Crie dois vetores, u e v, a partir da origem, e dois controles deslizantes, a e b.

b)     Defina o vetor au + bv.

c)     Crie duas retas a partir de u e v, respectivamente. Essas duas retas vão dividir o plano em quatro quadrantes.

d)     Quando uma combinação linear está no primeiro quadrante (o setor definido por u e v)?

e)     Quando uma combinação linear está no 2º, 3º e 4º quadrantes (siga o sentido anti-horário)?

f)      Quando uma combinação linear está no interior do paralelogramo definido por u e v?

g)     Repita a atividade para diferentes posições de u e v.

Atividade 3: Vamos fazer um ponto girar em torno de outro.

a)     Crie um controle deslizante sobre a janela de visualização, de nome t e com variação de 0 até 1.

b)     No campo de entrada, digite a expressão: (cos(2Pi t), sen(2Pi t)).

c)     Faça o controle deslizante animar.

Atividade 4: Faça a Terra orbitando em torno do Sol e a Lua em torno da Terra, simultaneamente.

Autoavaliação

Praticar autoavaliação pode ser um recurso útil para melhorar a aprendizagem. Sugiro que o aluno faça a seguinte atividade.

Atividade 1: Listar todos os tópicos de conteúdo visto até agora e identificar quais você acha que entendeu e quais acha que não entendeu.

Atividade 2: Apresentar 6 exercícios, com a solução, resolvidos no seu estudo, os que pareçam mais importantes.

Atividade 3: Apresentar um exercício que você não soube resolver.

Área - uma aplicação notável do conceito de derivada

O conceito de derivada possui inúmeras aplicações. Contudo, uma das mais notáveis é a aplicação no cálculo de áreas. Vejamos mais sobre a questão.

Consideremos uma função f, um intervalo fechado [a, b] dentro de seu domínio de definição e o problema de determinar a área da região limitada definida pelo gráfico de f, isto é, a região limitada pelas curvas y = f(x), y = 0, x = a e x = b. Veja a figura.

Nesse problema, determinar a área significa encontrar um número. Para levarmos o problema para o contexto de derivada, consideramos o problema de modo mais geral, ou seja, consideramos a função F(x) que fornece a área da região entre a e x, onde x varia entre a e b. Veja a figura.

Clique aqui para versão dinâmica da figura.

O ponto agora, então, é descobrir a função F que fornece a área procurada, uma vez que seja dada a função f. Quando estudamos melhor a função F(x) descobrimos que vale a relação F'(x) = f(x), para todo x no intervalo [a, b] (essa é a parte principal dessa história simplificada, mas que não será abordada aqui).

Resolver a equação F'(x) = f(x) significa calcular a antiderivada de f(x). Sabendo fazer esse cálculo, o problema de calcular área fica praticamente resolvido. Vejamos um exemplo numérico.

Problema: Encontrar a área entre as curvas y = x² – 4x + 5, y = 0, x = 1 e x = 4. (Procure fazer o desenho da região descrita.)

Solução: Primeiro calculamos a antiderivada de x² – 4x + 5. Temos:
F(x) = ∫(x² – 4x + 5)dx = x³/3 – 2x² + 5x

Assim, a área é dada por F(4) - F(1) = (4³/3 – 2.4² + 5.4) - (1³/3 – 2.1² + 5.1) = 6.

Essa explicação é uma versão bastante simplificada do Teorema Fundamental do Cálculo e de como ele é usado em problemas de cálculo de área. Uma forma de continuar o estudo é simplesmente trabalhar outros tipos de regiões, diferentes da trabalhada aqui.

Gráfico de uma função real de duas variáveis reais

Um grande obstáculo no estudo de funções reais de mais de uma variável é a representação e visualização do gráfico da função dada.

Quando falamos em uma função de duas variáveis, temos uma função f : D → R, z = f(x, y), onde D representa uma região do R². E o gráfico é definido por {(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ R²}.

O visitante pode explorar o conceito de gráfico de uma função de duas variáveis pela construção gráfico de um paraboloide.

Elasticidade-preço da demanda

Seus conhecimentos matemáticos são suficientes para entender conceitos da área de Economia? Estou sugerindo, nessa postagem, como forma de exercício, um tema de discussão, a saber, discutir o conceito de elasticidade-preço da demanda.

Consideremos que o preço p de um determinado produto se apresente em função da quantidade de demanda x e que essa relação possa ser modelada por uma função f : [0, M] ® R, p = f(x).

Atividade 1: Considerando o contexto de definição, que aspectos podemos esperar da função f? Faça um esboço de um gráfico que ilustre esses aspectos.

Em textos de Economia vemos o conceito de elasticidade-preço da demanda sendo apresentado como o resultado do quociente entre a variação porcentual da quantidade demandada x e variação porcentual do preço p. Em símbolos, temos

Elasticidade-preço da demanda (E) = (Dx/x) / (Dp/p).

Atividade 2: O objetivo é analisar a definição do conceito de elasticidade e sua fórmula matemática.

a) Explique o significado dos termos “variação porcentual da quantidade demandada x” e “variação porcentual do preço p”.

b) Como os termos destacados no item anterior se relacionam com a fórmula apresentada?

c) Você apresentaria o conceito usando outra nomenclatura? Se sim, como faria?

d) O que mede o quociente da fórmula? Considere exemplos numéricos em sua explicação.

Considerando que, para pequenas variações da variável independente x, vale a relação f’(x) » Dp/Ds, podemos reescrever a fórmula anterior:

(Dx/x) / (Dp/p) = (p/x) / (Dp/Dx) » (p/x) / f’(x) = (p/x) / (dp/dx).

A última igualda é somente uma mudança de notação, f’(x) = dp/dx.

Assim, utilizando aproximação, o mesmo conceito de elasticidade pode ser apresentado pela fórmula:

E = (p/x) / (dp/dx).

A elasticidade-preço da demanda fornece uma classificação da demanda:

A demanda é elástica: se |E| > 1;

A demanda é inelástica: se |E| < 1;

A demanda é unitária se: se |E| = 1;

A demanda é perfeitamente elástica: se |E| = ¥;

A demanda é perfeitamente inelástica: se |E| = 0.

Atividade 3: Explique matematicamente os tipos de demanda segundo os possíveis valores de elasticidades.

Estudo de sinais das derivadas 1a e 2a

Quando uma função é duas vezes derivável, podemos fazer um esboço do seu gráfico de forma bem detalhada, sem precisar conhecer "todos" os seus valores. As atividades a seguir tratam desse assunto. O pré-requisito principal aqui é saber fazer o estudo de sinais de uma função, além de precisar saber derivar.

Dificilmente somos capazes de vizualizar uma função, e suas particularidades, apenas olhando para a expressão algébrica que a define. Contudo, se conseguirmos informações sobre os sinais da 1a e 2a derivadas, já podemos criar uma boa imagem da função. Esse conteúdo é resumido nos quadros a seguir.

A visualização ainda fica melhor quando combinamos os dois quadros.

Atividade 1: Acesse a construção gráficos e para cada função crie uma tabela de estudo de sinais de f' e f''.

Atividade 2: Ainda considerando a construção gráficos, responda, para cada função:
a) Determine os pontos críticos da função, se houver.
b) Determine os pontos de inflexão, se houver.
c) Determine, se houver, os pontos de máximo, local e global.
d) Determine, se houver, os pontos de mínimo, local e global.
e) Determine, se houver, o valor máximo e o valor mínimo.

Atividade 3: Para cada função dada a seguir: i) determine os pontos críticos; ii) faça um estudo de sinais da derivada primeira; iii) determine os pontos de inflexção; iv) faça um estudo de sinais da derivada segunda; v) apresente um esboço do gráfico.
a) f(x) = x² - 4x - 1
b) f(x) = 3x² - 3x + 2
c) f(x) = x³ - 9x² + 15x - 5
d) f(x) = x³ - x² - x
e) f(x) = 2x³ - 9x² + 2
f) f(x) = 1/4x⁴ - x³ + x²
g) f(x) = x⁴ + 4x
h) f(x) = (x - 2)/(x + 2)
i) f(x) = x⁵ - 5x³ - 20x - 2
j) f(x) =  3x⁵ + 5x⁴
k) f(x) = 2x/(1 + x²)

Atividade 4: Desenhe num mesmo plano cartesiano o gráfico de x³ e de x^1/3.

Introdução ao estudo de concavidade

Antes de formalizar o conceito, vejamos com mais detalhes sobre as funções monótonas. Vamos nos fixar nas funções crescentes.

Essencialmente podemos pensar em TRÊS tipos diferentes de funções crescentes. Dependendo da interpretação, podemos pensar até em mais casos. O leitor consegue pensar nos três casos básicos? Consegue pensar em mais casos? A próxima atividade trata dessa questão.

Atividade 1: Considere a seguinte construção, https://www.geogebra.org/m/ncHDfwqM, e crie exemplos de funções crescentes que de alguma maneira sejam diferentes.
a) Quantos exemplos diferentes você consegue produzir?
b) Você produziu exemplos onde o gráfico apresentava uma concavidade para cima? Quantos?
c) Você produziu exemplos onde o gráfico apresentava uma concavidade para baixo? Quantos?

A próxima atividade é uma sugestão de exploração a partir de diversos exemplos numéricos.

Atividade 2:

a) Faça o esboço de gráfico de funções polinomiais de grau 1, 2 e 3, faça diversos exemplos.

b) Para cada exemplo obtido, compare o gráfico obtido, principalmente a concavidade das curvas, com a expressão da derivada.

c) Descreva o que percebeu.

Atividade 3: Considere a figura a seguir que representa o gráfico de três funções distintas.

A animação sobre concavidades pode ajudar nessa tarefa.

a) Apresente uma propriedade comum às três funções, em termos de derivada.
b) Apresente uma característica exclusiva de cada função, que não seja dividida pelas outras duas funções, também em termos de derivada.

Quando a reta secante não converge.

Nem sempre uma função possui derivada num ponto dado do seu domínio. Uma forma de abordar essa questão é pela representação geométrica. Nesse caso, a existência da derivada está associada a aproximação da reta taangente por retas secantes. A questão é que nem sempre essa aproximação ocorre de forma precisa.

A seguinte construção eletrônica deve ajudar o leitor a explorar e entender melhor a questão.

Quando a reta secante não converge.

Funções partidas

Função partida ou função definida por partes é uma função definida por uma regra que não é geral para todo o domínio. Ou melhor, a correspondência entre valores é estabelecida por partes.

Um bom exemplo dessa ideia é dado pela função módulo. Normalmente encontramos a apresentação:

Quando uma função é definida por duas partes, antes e depois de um determinado valor de x, a forma geral de apresentação dessa função costuma seguir esse modelo.

Funções definidas por partes são uma ótima fonte de exemplos de funções com descontinuidade num ponto. Assim, se o leitor pesquisar sobre o assunto, verá muitos exemplos de funções partidas com cara de uma função de fato "partida", "cortada". Mas não é sempre assim!

As atividades a seguir falam justamente sobre funções definidas por parte que ainda são contínuas. O problema de estudo proposto é o de estabelecer quando uma função partida, definida por expressões deriváveis, continua sendo derivável.

Dica: Recorra ao GeoGebra para ajudar nas tarefas.

Atividade 1:

a) Determine uma função tal que f(3) = 2.

b) Determine outra função tal que f(3) = 2.

c) Determine uma função partida tal que f(3) = 2, usando as expressões dos dois exemplos anteriores.

d) A função obtida em (c) é derivável em x = 3?

Atividade 2: Considere a função definida para x ≤ 1 pela expressão 1/(1 + x²). Encontre uma expressão quadrática que estenda a função de modo que ela seja derivável em x = 1.

Atividade 3:

a) Determine a derivada de f(x) = 1/(1 + x²) em x = 1.

b) Determine a equação da reta tangente a função f.

c) Encontre uma expressão quadrática tal que o valor seja f(1) e tenha derivada f’ (1), no ponto em x = 1.

d) Resolva a Atividade 2.

Fechamento: Considere f uma função partida do tipo:

Suponha que expressão 1 e expressão 2 seja deriváveis. Que condições garantem que a função f seja derivável no ponto a?

Uma introdução à Regra da Cadeia

Montei um pequeno guia de estudo para uma introdução à conhecida regra da cadeia.

Sugiro que o visitante obtenha o guia de estudo, estude os exemplos e resolva os exercícios sugeridos. Nesse guia você deve aprender sobre expressões compostas (mesmo que não seja definido o que exatamente é uma expressão composta - isso será assunto de discussão em sala) e sobre como calcular derivadas pela regra da cadeia para dois tipos específicos de expressões.

Importante: A ideia desse estudo é aprender seguindo os exemplos resolvidos como modelo. É imortante consultar os exemplos resolvidos e prestar bastante atenção nos detalhes das contas. E, como sempre, a principal dica é insistir, não desista na primeira dificuldade.

Após o estudo, o visitante pode buscar outras referências. Algumas sugestões:

Khan Academy

Responde Aí

Dicas de Cálculo

Uma prova

Segue um exemplo de prova que já apliquei com alunos meus.

Referências na internet para o estudo de Cálculo

Vou deixar aqui algumas dicas de bons materiais de estudo que encontramos livres na internet.

Gimenez-Starke / UFSC

Patrão / UNB

Vilches-Corrêa / UERJ

Federson-Planas / USP

Indeterminadas

Um tipo de expressão que é uma fonte de problemas com relação ao cálculo de limites é a dada por uma fração P(x)/Q(x) tal que lim P(x) = lim Q(x) = 0, quando x → a.

Um exemplo de situação assim é retratado na seguinte figura.

Criando assíntotas

O objetivo deste estudo é visualizar assíntotas horizontais e verticais a partir do conhecimento da expressão algébrica que define uma função. E o estudo é exploratório, é baseado na realização de tarefas com apoio de algum programa de gráfico.

A rotina de trabalho é simples, pensa numa expressão e a escreva no programa para gerar o gráfico. Repita o processo até obter a figura desejada. E a regra para escrever a resposta para cada tarefa é a seguinte: a) Antes de produzir o gráfico, escreva porque escolheu a expressão. b) Depois do gráfico produzido, explique a relação entre a expressão criada e a imagem obtida. c) Repita (a) e (b) toda vez que tentar um novo gráfico.

Tarefa 1: Encontre uma expressão algébrica que produza um gráfico como a seguir. (Seria como uma parábola que recebeu uma assíntota vertical.)

Tarefa 2: Encontre uma expressão algébrica que produza um gráfico como a seguir. (Seria como uma taça feita de uma parábola e uma assíntota vertical.)

Tarefa 3: Para cada item, crie uma função que apresente assíntotas verticais e horizontais, ao mesmo tempo, cuja expressão algébrica possua na fórmula: a) √x ; b) sen(x) ; c) exp(x) .

Para pensar sobre funções

Segue uma lista de problemas a respeito de funções que demandam um pouco de maturidade do aprendiz, o objetivo maior é refletir sobre o conceito.

1) Sejam f e g funções definidas no intervalo [-2, 3] e tais que [1, 23] é a imagem de f e [-5, 12] é a imagem de g.
     a) Podemos garantir que existe uma solução x para o sistema de equações, {f(x) = 2, g(x) = 2?
     b) Podemos garantir que não existe uma solução x para o sistema de equações, {f(x) = 13, g(x) = 13?

2) Seja f uma função crescente definida num intervalo aberto (a, b).
     a) Podemos garantir que a imagem de f é um intervalo?
     b) Podemos garantir que a imagem de f não é um intervlo fechado?
     c) Podemos garantir que a imagem de f não tem valor máximo nem mínimo?
(Dica: Procure produzir diferentes exemplos de funções crescentes definidas num único intervalo aberto, digamos (0, 1), só para fixar ideias.)

3) Verdadeiro ou falso: Se as funções f, g são dadas pela relação f(x) = x e g(x) = x² então f ⩽ g.

4) Verdadeiro ou falso: É possível existirem duas funções constantes, com o mesmo valor, mas que sejam diferentes.

Quando não sabemos calcular o valor!

Existem situações onde não conseguimos estabeler um valor preciso para a variável em estudo. Vejamos alguns casos.

Exemplo 1: Como obter o resultado final da divisão 1 : 3?
Para entender a questão de um ponto de vista geométrico, indicamos que o visitante explore a animação sobre frações e representações decimais.

Exemplo 2: Como encontrar a representação decimal exata do número x tal que x² = 2?
Para tentar medir tal x indicamos a animação sobre comprimentos notáveis.

Exemplo 3: Qual é a área do círculo de raio 1?
O visitante pode explorar uma tentativa de obter essa área pela animação em área de um círculo.

Nos casos ilutrados aqui vemos situações onde não podemos efetuar algumas somas e multiplicações e obter o resultado final. Em cada caso, precisamos fazer contas parciais, cujos resultados se aproximam do valor desejado.

Mas, como saber qual é de fato o resultado desejado? Aliás, como saber se ele existe? Existindo tal valor procurado, como saber que estamos procedendo corretamente com essas contas parciais? Como saber que obtemos um valor realmente próximo do procurado?

Vejamos uma situação que pode nos confundir. Queremos calcular o comprimento do caminho azul, mas eu não sei calcular comprimento de diagonais. Consideremos, então, o caminho verde. Digamos que os dois segmentos verdes possuam tamanho 1, donde o caminho verde mede 2. Assim, o caminho azul mede algo próximo de 2! Acho que essa não parece uma boa estimativa, não? O caminho verde está muito longe do caminho azul! E se pegássemos um caminho mais próximo, como o vermelho? Será que ele serve para estimar o comprimento do caminho azul? Bom parece melhor do que usar o verde, não?

Explore essa aproximação por curvas.

O leitor pode conferir, juntando os segmentos vermelhos, temos que o comprimento também mede 2! Isso pode contrariar a intuição de alguns. Não importa quão próximo pareça uma curva como a vermelha (em forma de escada), o comprimento dessas curvas é constante igual a 2 e, em particlar, o cálculo desses valores não leva a uma aproximação do comprimento do caminho azul.

Resumindo, para situações que não conseguimos meios de obter um valor desejado de modo direto, dentro dos recursos disponíveis, precisamos lançar mão de novos meios. Para esse tipo de problema, esse novo meio é dado pelo termo "Limite". Para o melhor tratamento de diversas questões matemáticas, algumas bem básicas, é preciso se iniciar no mundo dos "limites".

O estudo de funções, antes do Cálculo

Para o início do estudo do Cálculo Diferencial e Integral é fundamental conhecer bem o conceito de função. Vou deixar algumas orientações de estudo desse tópico.

O conceito

Seja I um subconjunto de ℝ (provavelmente um intervalo). Uma função real de variável real é um terno de três objetos matemáticos: uma variável x que assume valores em todo o conjunto I, uma variável y que assume valores  em ℝ e uma regra y = f(x) que estabelece uma correspondência de valores de x para y.

Observações:

• A notação y = f(x) é só para dizer que valores de y estão associados a valores de x. Ou que mudanças em x provocam mudanças em y. Mas isso não significa que exista uma fórmula para a relação.
• A rigor, só o conhecimento de uma regra y = f(x) não estabelece uma função. É preciso fixar também o conjunto I, chamado de domínio da função.
• Costumamos usar uma única letra para representar todo o objeto função. No caso, se usamos a regra y = f(x), é comum chamar o objeto função pela letra f.
• A fim de explicitar todos os objetos, às vezes usamos a notação mais completa para uma dada função de domínio I e regra y = f(x), a saber, f : I ⊂ ℝ → ℝ. Se conhecemos a regra explícita da função completamos a notação com a regra. Exemplo: f : [0, 1] → ℝ, f(x) = 2x + 1.

Terminologia:

Dada uma função f : I ⊂ ℝ → ℝ, y = f(x), costumamos utilizar algumas terminologias.

• A variável x é chamada variável independente.
• A variável y é chamada variável dependente.
• É comum falar sobre x dizendo o ponto x e sobre y dizendo o valor y.

Exemplo: Se y = x² + x – 2, o valor de y no ponto x = 3 é 10.

Sugestões para o estudo de algumas funções particulares:

• Função afim (agora com MUITOS exercícios!)
• Função exponencial
• Para estudar um gráfico (com exercícios!)