Área - uma aplicação notável do conceito de derivada

O conceito de derivada possui inúmeras aplicações. Contudo, uma das mais notáveis é a aplicação no cálculo de áreas. Vejamos mais sobre a questão.

Consideremos uma função f, um intervalo fechado [a, b] dentro de seu domínio de definição e o problema de determinar a área da região limitada definida pelo gráfico de f, isto é, a região limitada pelas curvas y = f(x), y = 0, x = a e x = b. Veja a figura.

Nesse problema, determinar a área significa encontrar um número. Para levarmos o problema para o contexto de derivada, consideramos o problema de modo mais geral, ou seja, consideramos a função F(x) que fornece a área da região entre a e x, onde x varia entre a e b. Veja a figura.

Clique aqui para versão dinâmica da figura.

O ponto agora, então, é descobrir a função F que fornece a área procurada, uma vez que seja dada a função f. Quando estudamos melhor a função F(x) descobrimos que vale a relação F'(x) = f(x), para todo x no intervalo [a, b] (essa é a parte principal dessa história simplificada, mas que não será abordada aqui).

Resolver a equação F'(x) = f(x) significa calcular a antiderivada de f(x). Sabendo fazer esse cálculo, o problema de calcular área fica praticamente resolvido. Vejamos um exemplo numérico.

Problema: Encontrar a área entre as curvas y = x² – 4x + 5, y = 0, x = 1 e x = 4. (Procure fazer o desenho da região descrita.)

Solução: Primeiro calculamos a antiderivada de x² – 4x + 5. Temos:
F(x) = ∫(x² – 4x + 5)dx = x³/3 – 2x² + 5x

Assim, a área é dada por F(4) - F(1) = (4³/3 – 2.4² + 5.4) - (1³/3 – 2.1² + 5.1) = 6.

Essa explicação é uma versão bastante simplificada do Teorema Fundamental do Cálculo e de como ele é usado em problemas de cálculo de área. Uma forma de continuar o estudo é simplesmente trabalhar outros tipos de regiões, diferentes da trabalhada aqui.