segunda-feira, 27 de fevereiro de 2012

Produto de um vetor do plano por um escalar

A seguir o visitante encontra um applet feito para estimular o aprendizado da noção de produto de um escalar por um vetor do R2. O ponto vermelho permite variar a representação de um vetor do R2. Note que você pode mudar a direção, o sentido e o tamanho do vetor. No seletor, você encontra a representação do escalar para ser multiplicado pelo vetor dado. O escalar está com o valor zero. Mudando o valor do escalar você vê o vetor produto do escalar pelo vetor dado.

Para entender melhor a noção de produto de vetor por escalar, tente realizar as seguintes atividades no applet.

Atividade 1: Verifique se a direção, o sentido e o tamanho do vetor a.u muda quando variamos o valor de a.

Atividade 2: Fazendo variar o parâmetro a, responda às perguntas.

1) Quando a.u tem sentido contrário ao de u?
2) Quando a.u tem o mesmo sentido que o de u?
3) Quando a.u tem tamanho menor do que o de u?
4) Quando a.u tem tamanho maior do que o de u?
5) Quando a.u e u têm o mesmo tamanho?

Obs.: Procure repetir a atividade com vetor numa posição diferente. Veja se suas conclusões mudam.




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Ion Moutinho, Criado com GeoGebra

domingo, 26 de fevereiro de 2012

Reconhecendo a densidade dos números racionais na reta numérica

Esta postagem apresenta uma applet feito no GeoGebra que ajuda a perceber a propriedade sobre a densidade dos números racionais na reta numérica. O objetivo é se convencer de que entre dois pontos de uma reta sempre existe um múltiplo da unidade, ou de uma fração da unidade, entre estes pontos. Ou seja, entre dois pontos da reta numérica sempre existe um número racional. Para isso, o visitante pode escolher posições arbitrárias para os pontos A e B (eles podem ser transladados, podem ser colocados afastados ou próximos). Aí, deve tentar colocar um ponto que represente uma fração p/q entre A e B aumentando fazendo variar o valor do numerador p e do denominador q. Caso ele não consiga na primeira escolha de valores para p e q, mude-os e tente novamente. O visitante poderá verificar que sempre é possível escolher valores p e q de modo que se encontre um ponto entre A e B que representa uma fração de inteiros. GeoGebra Planilha dinâmica

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Ion Moutinho, Criado com GeoGebra

quarta-feira, 22 de fevereiro de 2012

Quer ter sucesso nas disciplinas de Matemática? Comece montando um quebra-cabeça de mil peças!

A impressão que um aluno universitário tem de uma disciplina de Matemática é certamente bem diferente do que a que se costuma ter de qualquer outro tipo de disciplina. Esta diferença começa já a partir do alto índice de reprovação que sempre encontramos em disciplinas como Cálculo e Álgebra Linear, por exemplo. Ou seja, a primeira impressão que todo aluno que se inscreve numa disciplina de Matemática tem é que a matéria é difícil e que ele provavelmente vai ser reprovado.

As impressões negativas sobre as disciplinas matemáticas são inúmeras. Uma consequência imediata natural é a desmotivação para estudá-las, outro fator que contribui para a reprovação, ou para um aproveitamento insuficiente destas disciplinas.

Agora, na minha opinião, o maior problema que podemos encontrar quando cursamos uma disciplina matemática é a própria estrutura de estudo deste tipo de disciplina. Por exemplo, se você parar para pensar sobre o conteúdo básico que é cobrado numa disciplina de Cálculo, só para fixar ideia, vai ver que ele é bem simples, limite, derivada e integral. Se você parar um instante para ler sobre estas ideias (de limite, derivada e integral), vai ver que elas são bem simples. Outro exemplo, se parar para analisar o conteúdo de Álgebra Linear, você verá que quase todo ele se reduz ao estudo de sistemas lineares, um tópico que é relativamente simples, assunto de estudo desde o ensino médio. Ou seja, o que complica num estudo matemático não é exatamente o conteúdo, não a princípio. O que complica é a forma como temos que estudar este tipo de conteúdo.

Bom, falar sobre o que está envolvido em um estudo matemático nos tomaria um tempo bem maior do que procuro gastar aqui nas minhas postagens. Em vez disso, vou dar um exemplo onde vocês podem encontrar um ambiente de dificuldades bastante parecido com o que encontramos nas disciplinas matemáticas. O exemplo, na verdade, pode ser tomado como um exercício e é o seguinte. Procure montar um quebra-cabeça de mil peças, ou de quinhentas mesmo.

Iniciar a montagem de um quebra-cabeça é muito simples. Por exemplo, pegamos os quatro cantos, pegamos todas as peças retas e tentamos montar a região limite do quebra-cabeça. Relativamente fácil! Depois, podemos adotar outras estratégias. Por exemplo, podemos separa as peças por cores. A ideia é bem simples! A coisa começa a ficar interessante quando percebemos que a estratégia não funciona tão bem. Peças verde que deveriam fazer parte daquele local onde fica uma árvore não encaixam no espaço. Como isto não faz sentido, adotamos outra estratégia. Por exemplo, montamos partes que tem detalhes fáceis de se identificar, como um rosto, o telhado de uma casa, a ponta da montanha, etc. Porém, outra coisa chata deve acontecer aí. Por exemplo, aposto como peças que você separou para montar o telhado vão sobrar também. Bom, quando algumas estratégias começam a falhar, começa a irritação com o jogo. Esta pode ser uma boa hora para um pausa. Voltando à montagem, uma boa ideia é voltar às estratégias fracassadas. Por exemplo, se voltarmos às peças verdes separadas, podemos perceber que temos verdes com texturas diferentes (falando sempre hipoteticamente, é claro). Aí, é preciso fazer uma nova classificação de peças verdes. Isto é só um exemplo. Num quebra-cabeça de mil peças, certamente teremos inúmeros problemas parecidos. Só para enriquecer a minha ilustração, outra situação que deve acontecer durante a montagem do quebra-cabeça é a seguinte. No meio de tantas situações adversas, a montagem do quebra-cabeça vai ficando lenta, tendendo a desistência do jogador. Se o jogador for persistente, com o tempo, ele provavelmente irá perceber detalhes que não tinha visto antes. Por exemplo, verá que existe um outro pedaço do cenário onde também exstem detalhes com telhado. Ou seja, aquelas peças que você achou que estavam sobrando na verdade servem para outro local. Neste momento, o que vai ajudar na continuação da montagem é conhecer bem os detalhes do cenário. Aposto como no início você deixou de perceber inúmeros detalhes importantes.

Esta conversa sobre a montagem de um quebra-cabeça também vai longe. O melhor é o leitor viver a sua própria experiência de montagem. Experimente! Faça isso e analise os momentos que você vai viver, a vontade de desistir e a motivação que você encontra para superar esta vontade, além dos contratempos que você encontra e as estratégias que você bola para contorná-los, sem falar na paciência e calma.

Caro leitor, se você estuda alguma disciplina de Matemática, viva a experiência de montar um grande quebra-cabeça! Saiba que ela é bastante parecida com o que vivemos quando cursamos uma disciplina de Matemática. Aí, para ter sucesso na disciplina, verá que também é preciso lançar mão da mesma vontade, paciência e disciplina usada na montagem do quebra-cabeça.

Só para concluir, é claro que estou falando do aspecto psicológico. Se você olhar com calma, é possível encontrar várias analogias entre um estudo matemático e a montagem de um quebra-cabeça. Mas, é evidente que o estudo matemático é bem mais complexo do que a montagem de um quebra-cabeça. Ainda assim, vale a pena perceber como que certos sintomas negativos que vivemos nestes dois tipos de experiências são parecidos. Se você for capaz de superar os sintomas difíceis que encontramos na montagem de um quebra-cabeça complexo, pelo menos poderá tentar levar a sensação de superação vivida no quebra-cabeça para a sua disciplina de Matemática.

A propósito, qual é mesmo a utilidade de se montar um quebra-cabeça?