Normalmente o aluno iniciante não se dá conta do valor de uma determinada estrutura matemática existente por trás de um conjunto. Inclusive, muitas vezes não se dá conta da existência de uma estrutura matemática. Um bom exemplo de tal situação acontece com o conjunto dos números reais. Na postagem do dia 28 de setembro de 2010, fiz a afirmação inesperada de que o conjunto dos números reais é igual ao conjunto dos números complexos. Qual é o sentido de tal afirmação?
Vejamos uma situação análoga, porém mais simples. Diz-se que um conjunto X é enumerável quando existe uma correspondência bijetiva entre X e N, conjunto dos números naturais. Por outro lado, é comum identificar conjuntos diferentes que possuem a mesma cardinalidade, isto é, que se correspondem por uma bijeção. Por exemplo, do ponto de vista numérico, os conjuntos {A, B, C} e {@, &, #} podem ser visto como um mesmo conjunto, pois têm a mesma quantidade de elementos. Extrapolando este tipo de identificação, podemos dizer que o conjunto dos números racionais, Q, é igual ao conjunto N, pois é sabido que Q é um conjunto enumerável.
Você entendeu o que acabei de dizer, que o conjunto dos naturais é igual ao conjunto dos racionais? Em primeiro lugar, é preciso ficar claro o que esta noção de igualdade significa. Se pensarmos em termos de identificação por correspondência bijetiva, não existe nenhum problema dizer que são iguais. O mesmo vale para a afirmação que fiz sobre o conjunto dos números reais ser igual ao conjunto dos números complexos. Como conjuntos que se correspondem, não existe nenhum problema fazer esta afirmação.
O problema nesta história toda está na apresentação de um conjunto tão rico de propriedades como o conjunto dos números reais apenas como um conjunto que se corresponde à reta. Só esta informação não caracteriza tal conjunto. Daí eu ter afirmado que R e C eram iguais, pois estava considerando a fraca definição dos livros didáticos de que o conjunto R era o conjunto que se correspondia a uma reta.
Voltando aos números racionais, por exemplo, uma das propriedades que caracteriza este conjunto é o fato de uma equação do tipo ax + b = c (com a diferente de 0) sempre ter solução, ao contrário do que acontece com os números naturais. Ou melhor, um dos fatos importantes sobre Q é que este conjunto pode ser munido de uma operação soma e uma operação produto que estendem as respectivas operações sobre os naturais de modo que (Q, +, .) se torna um corpo. Ou seja, o importante não é saber que Q é formado por elementos na forma de fração, p/q, o importante é saber que ele possui uma estrutura de corpo, ou melhor, de corpo ordenado que contém Z e é denso.
Para ajudar a responder à postagem do dia 28 de setembro de 2010, sobre você realmente conhecer os números reais, a minha dica é que você deve entender que o conjunto dos números reais é caracterizado por ser um corpo ordenado e completo. Por exemplo, Q é um corpo ordenado, mas não é completo. O conjunto C é completo, mas não é ordenado.
Agora, se você quiser conhecer bem os reais, já sabe que é preciso entender o que é um corpo ordenado completo. Se quiser saber como que se transforma a noção de número real a fim de torná-la passível de ser ensinado na escola, é preciso saber como se transforma o conceito de corpo ordenado completo para a escola. Se você é professor, já pensou sobre isto? Posteriormente falarei mais sobre esta questão.
