Área - uma aplicação notável do conceito de derivada

O conceito de derivada possui inúmeras aplicações. Contudo, uma das mais notáveis é a aplicação no cálculo de áreas. Vejamos mais sobre a questão.

Consideremos uma função f, um intervalo fechado [a, b] dentro de seu domínio de definição e o problema de determinar a área da região limitada definida pelo gráfico de f, isto é, a região limitada pelas curvas y = f(x), y = 0, x = a e x = b. Veja a figura.

Nesse problema, determinar a área significa encontrar um número. Para levarmos o problema para o contexto de derivada, consideramos o problema de modo mais geral, ou seja, consideramos a função F(x) que fornece a área da região entre a e x, onde x varia entre a e b. Veja a figura.

Clique aqui para versão dinâmica da figura.

O ponto agora, então, é descobrir a função F que fornece a área procurada, uma vez que seja dada a função f. Quando estudamos melhor a função F(x) descobrimos que vale a relação F'(x) = f(x), para todo x no intervalo [a, b] (essa é a parte principal dessa história simplificada, mas que não será abordada aqui).

Resolver a equação F'(x) = f(x) significa calcular a antiderivada de f(x). Sabendo fazer esse cálculo, o problema de calcular área fica praticamente resolvido. Vejamos um exemplo numérico.

Problema: Encontrar a área entre as curvas y = x² – 4x + 5, y = 0, x = 1 e x = 4. (Procure fazer o desenho da região descrita.)

Solução: Primeiro calculamos a antiderivada de x² – 4x + 5. Temos:
F(x) = ∫(x² – 4x + 5)dx = x³/3 – 2x² + 5x

Assim, a área é dada por F(4) - F(1) = (4³/3 – 2.4² + 5.4) - (1³/3 – 2.1² + 5.1) = 6.

Essa explicação é uma versão bastante simplificada do Teorema Fundamental do Cálculo e de como ele é usado em problemas de cálculo de área. Uma forma de continuar o estudo é simplesmente trabalhar outros tipos de regiões, diferentes da trabalhada aqui.

Gráfico de uma função real de duas variáveis reais

Um grande obstáculo no estudo de funções reais de mais de uma variável é a representação e visualização do gráfico da função dada.

Quando falamos em uma função de duas variáveis, temos uma função f : D → R, z = f(x, y), onde D representa uma região do R². E o gráfico é definido por {(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ R²}.

O visitante pode explorar o conceito de gráfico de uma função de duas variáveis pela construção gráfico de um paraboloide.

Elasticidade-preço da demanda

Seus conhecimentos matemáticos são suficientes para entender conceitos da área de Economia? Estou sugerindo, nessa postagem, como forma de exercício, um tema de discussão, a saber, discutir o conceito de elasticidade-preço da demanda.

Consideremos que o preço p de um determinado produto se apresente em função da quantidade de demanda x e que essa relação possa ser modelada por uma função f : [0, M] ® R, p = f(x).

Atividade 1: Considerando o contexto de definição, que aspectos podemos esperar da função f? Faça um esboço de um gráfico que ilustre esses aspectos.

Em textos de Economia vemos o conceito de elasticidade-preço da demanda sendo apresentado como o resultado do quociente entre a variação porcentual da quantidade demandada x e variação porcentual do preço p. Em símbolos, temos

Elasticidade-preço da demanda (E) = (Dx/x) / (Dp/p).

Atividade 2: O objetivo é analisar a definição do conceito de elasticidade e sua fórmula matemática.

a) Explique o significado dos termos “variação porcentual da quantidade demandada x” e “variação porcentual do preço p”.

b) Como os termos destacados no item anterior se relacionam com a fórmula apresentada?

c) Você apresentaria o conceito usando outra nomenclatura? Se sim, como faria?

d) O que mede o quociente da fórmula? Considere exemplos numéricos em sua explicação.

Considerando que, para pequenas variações da variável independente x, vale a relação f’(x) » Dp/Ds, podemos reescrever a fórmula anterior:

(Dx/x) / (Dp/p) = (p/x) / (Dp/Dx) » (p/x) / f’(x) = (p/x) / (dp/dx).

A última igualda é somente uma mudança de notação, f’(x) = dp/dx.

Assim, utilizando aproximação, o mesmo conceito de elasticidade pode ser apresentado pela fórmula:

E = (p/x) / (dp/dx).

A elasticidade-preço da demanda fornece uma classificação da demanda:

A demanda é elástica: se |E| > 1;

A demanda é inelástica: se |E| < 1;

A demanda é unitária se: se |E| = 1;

A demanda é perfeitamente elástica: se |E| = ¥;

A demanda é perfeitamente inelástica: se |E| = 0.

Atividade 3: Explique matematicamente os tipos de demanda segundo os possíveis valores de elasticidades.

Estudo de sinais das derivadas 1a e 2a

Quando uma função é duas vezes derivável, podemos fazer um esboço do seu gráfico de forma bem detalhada, sem precisar conhecer "todos" os seus valores. As atividades a seguir tratam desse assunto. O pré-requisito principal aqui é saber fazer o estudo de sinais de uma função, além de precisar saber derivar.

Dificilmente somos capazes de vizualizar uma função, e suas particularidades, apenas olhando para a expressão algébrica que a define. Contudo, se conseguirmos informações sobre os sinais da 1a e 2a derivadas, já podemos criar uma boa imagem da função. Esse conteúdo é resumido nos quadros a seguir.

A visualização ainda fica melhor quando combinamos os dois quadros.

Atividade 1: Acesse a construção gráficos e para cada função crie uma tabela de estudo de sinais de f' e f''.

Atividade 2: Ainda considerando a construção gráficos, responda, para cada função:
a) Determine os pontos críticos da função, se houver.
b) Determine os pontos de inflexão, se houver.
c) Determine, se houver, os pontos de máximo, local e global.
d) Determine, se houver, os pontos de mínimo, local e global.
e) Determine, se houver, o valor máximo e o valor mínimo.

Atividade 3: Para cada função dada a seguir: i) determine os pontos críticos; ii) faça um estudo de sinais da derivada primeira; iii) determine os pontos de inflexção; iv) faça um estudo de sinais da derivada segunda; v) apresente um esboço do gráfico.
a) f(x) = x² - 4x - 1
b) f(x) = 3x² - 3x + 2
c) f(x) = x³ - 9x² + 15x - 5
d) f(x) = x³ - x² - x
e) f(x) = 2x³ - 9x² + 2
f) f(x) = 1/4x⁴ - x³ + x²
g) f(x) = x⁴ + 4x
h) f(x) = (x - 2)/(x + 2)
i) f(x) = x⁵ - 5x³ - 20x - 2
j) f(x) =  3x⁵ + 5x⁴
k) f(x) = 2x/(1 + x²)

Atividade 4: Desenhe num mesmo plano cartesiano o gráfico de x³ e de x^1/3.