segunda-feira, 26 de março de 2012

Combinação Linear - a origem da Álgebra Linear

Esta postagem é só para apresentar um texto sobre combinação linear que é a base da iniciação ao estudo da teoria matemática conhecida como álgebra Linear (eu ainda vou aumentar este texto, com conteúdo e com exercícios).

https://docs.google.com/file/d/0Bx2OtiyyY20SWjl6MXNNM0NUVGV5c3FvelRBODFwdw/edit

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sábado, 24 de março de 2012

Bibliografia de Álgebra Linear

Vou citar e comentar sobre alguns livros para o estudo de Álgebra Linear. Como o assunto é só Álgebra Linear, vou apenas dar o nome dos autores.

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Provavelmente, o melhor livro de Álgebra Linear é o de Hoffmann e Kunze. O problema deste livro é que ele é pesado. É para quem está afim de estudar Matemática para valer. Não dá para estudar Matemática como se assiste a um filme na TV e é impossível estudar este livro se o estudante estiver no espírito de ver TV sobre Álgebra Linear. Existem outros livros ótimos de Álgebra Linear, mas que só podem ser apreciados por aqueles que estejam realmente dispostos a aprender Matemática, e que estejam preparados para dedicação. Tem o livro do Paul Halmos, que é um ótimo autor de livros de Matemática. É muito bom ler os textos dele. Outra referência é o livro de Herstein, Tópicos em Álgebra.

Estas três referências são clássicas. Uma referência mais atual, ainda para quem está disposto a estudar de verdade, é o livro de Elon Lages. Inclusive, existe uma publicação só com respostas dos exercícios do livro do Elon Lages, ela foi escrita por Ralph Teixeira.

A quantidade de livros sobre Álgebra Linear é muito grande, quase absurda. Então, não é difícil encontrar novos e bons livros escritos por professores universitários que resolvem publicar suas notas de aula. Alguns autores de livros de nível intermediário, que ainda mantêm qualidade na apresentação dos conceitos e que eu posso sugerir são: João Pitombeira; Serge Lang; Callioli, Domingues e Costa; Renato Valladares; Flávio U. Coelho e Mary L. Lorenço.

Uma boa abordagem didática para a aprendizagem de Álgebra Linear é por meio de vetores. É muito interessante estudar por livros que misturem estes dois elementos. Uma boa referência neste sentido é o livro de Nathan Moreira dos Santos. Outra referência é o livro de Estela Kaufman e Noelir de Carvalho.

Existe uma linha de livros que não me agrada nem um pouco, são livros que preparam o aluno para passar na disciplina. São livros que esquematizam a matéria, restringindo o conteúdo ao modelo, definição, exemplo resolvido e exercícios de repetição. O ícone desta linha é o livro de Steinbruch e Winterle. É um livro que não ensina quase nada e que é muito adotado nas faculdades particulares. Outro livro que eu não gosto é o de Boldrini, Costa, Ribeiro e Wetzler. Eu só cito estes livros por que nem todo mundo está afim de estudar Matemática de verdade, muitos só querem passar mesmo. Na verdade, todo livro tem seu valor. Sempre podemos encontrar um exemplo que ajuda a entender melhor a metéria ou que é mais curioso.

Ainda nesta linha de livros que não me agradam, podemos encontrar alguns que podem ser úteis, nem que seja para uma iniciação à Álgebra Linear. Temos, por exemplo, Bernard Kolman; Ben Noble e James W. Daniel; Howard Anton. Tem um, neste contexto, que merece destaque, o livro de Adilson Gonçalves e Rita M. L. de Souza.

Um livro muito bom e que merece destaque é o livro de Jean Dieudonné, Algèbre linéare et géométrie élémentaire. Outro livro de destaque é o de Tom Apostol, Calculus. Aliás, este livro é ótimo e, apesar de ser para cálculo, tem uma boa parte de Álgebra Liner.

sexta-feira, 23 de março de 2012

Os números racionais cobrem a reta numérica?

A representação geométrica dos números inteiros e racionais, conhecida como reta numérica, é bastante conhecida. Agora, eu aposto que existe um fato que ainda deve deixar muitas dúvidas. Afinal, os números racionais cobrem a reta numérica ou não? Veja a próxima animação. Ela mostra a unidade da reta numérica e mostra uma fração da unidade, que varia com o valor estabelecido para q (faça o q variar na animação, mas faça com cuidado, pois como q pode assumir valores muito grandes, eles podem apresentar grandes variações). Para ver os submúltiplos da unidade, assinale a caixa na tela. Aí, você verá vários números racionais representados dentro do segmento unidade. O interessante é que, dependendo da quantidade de números racionais, a representação da animação pode dar a impressão de que todo o segmento foi coberto. Se você pensar assim, use o recurso de ampliação. Veja o que acontece. Se agora você pensar que os números racionais deixam buracos na reta, continue a aumentar os valores de q.



This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com


Ion Moutinho, Criado com GeoGebra

Bom, parece que existe uma situação sem definição. Se ampliamos a reta, percebemos lacunas. Mas, se aumentamos a quantidade de racionais, vemos as lacunas sendo preenchidas. Podemos continuar assim indefinidamente. E agora? O que o visitante acha, será que os racionais cobrem toda a reta?

Eu gostaria de saber a opinião do visitante. Se puder, comente sobre o que acha.

segunda-feira, 12 de março de 2012

Explorando a Geometria Dinâmica - I


Dentre os novos recursos tecnológicos para a aprendizagem de Matemática, sem dúvida o de maior destaque é o oferecido pela Geometria Dinâmica. As possibilidades que este recurso oferece parecem até ilimitadas. Eu destaco dois programas de Geometria Dinâmica, o GeoGebra e o Régua e Compasso (R.e.C), por serem programas livres. Na verdade, eu tenho preferência mesmo é pelo GeoGebra.

O visitante que quiser mais informações sobre estes programas e orientações sobre a instalação destes pode visitar a página do professor Humberto José Bortolossi, http://www.professores.uff.br/hjbortol/

No livro, Novas Tecnologias no Ensino da Matemática: Informática no ensino da matemática: repensando práticas. Rio de Janeiro: 2008, o professor Carlos Mathias, ressalta “o papel primordial do Princípio da Propriedade Mantida (PPM) no estudo da geometria, através do uso de programas de geometria dinâmica: oferecer uma alternativa intermediária entre a insuficiente investigação de um caso particular e a, por vezes inviável, demonstração formal do caso geral (p. 72)”.

O PPM é uma referência às propriedades de uma figura construída num programa de Geometria Dinâmica que se mantêm invariantes na movimentação da figura, ou de elementos que definem a figura. Este princípio não pode ser usado como uma prova matemática, de modo algum, mas indica um ótimo método de experimentação e de formulação de conjecturas matemáticas, elementos importantes para a aprendizagem matemática.

A seguir o visitante encontra algumas sugestões de atividades que podem ajudar um iniciante neste mundo da Geometria Dinâmica. As atividades foram elaboradas pensando-se no programa livre, GeoGebra. Porém, é provável que elas possam ser facilmente adaptadas para outros programas de Geometria Dinâmica.

 
Nestas atividades o aluno encontra tarefas que permitem explorar o PPM, além de outros recursos igualmente úteis. Algumas atividades podem parecer um tanto complicadas. Nestes casos, o visitante curioso não deve colocar a culpa no desconhecimento do programa, ou na própria atividade. Nestes casos, o visitante pode se sentir desafiado a usar seus conhecimentos geométricos, eles são fundamentais para o bom aproveitamento do GeoGebra, que é um programa facílimo de ser usado.

segunda-feira, 5 de março de 2012

Geometria Comparativa

Uma boa estratégia para se tirar maior proveito de um estudo da Geometria Euclidiana é estudar outro tipo de Geometria ao mesmo tempo. Por exemplo, o educador Húngaro, Istvan Lenart, é conhecido por defender o estudo comparativo entre a Geometria esférica e a Geometria Plana. Quer ver um exemplo de como o estudo comparativo pode ser importante? Se uma pessoa aprende sobre a noção de ângulo somente pela Geometria Euclidiana, ela talvez não sinta a necessidade de formalizar este conceito, pois um ângulo é algo que se parece com um ângulo (assim pode pensar um estudante). Este é só um exemplo do trabalho de Lenart. Se o visitante quiser saber mais sobre o assunto pode consultar, para começar, http://www.mav.vic.edu.au/files/conferences/2009/21Lenart.pdf.

Veja no link a seguir algumas atividades que orientam a explorar a Geometria Esférica. Para realizá-las você precisa do seguinte material: esfera de isopor, elásticos, alfinetes e linha.
 
https://docs.google.com/file/d/0Bx2OtiyyY20SMlhMOHM2TW1ROG1STmNnalU3b3pXdw/edit.


O visitante também encontra um bom estudo sobre a Geometria Esférica na tese de Maria Lúcia Torelli Doria de Andrade, com versão eletrônica situada em

http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/maria_lucia_torelli.pdf.