sábado, 15 de dezembro de 2012

Exercícios Sobre Polinômios

Estou disponibilizando alguns exercícios sobre polinômios que uso quando leciono a disciplina de Álgebra II para o curso de Matemática da UFF.

https://docs.google.com/open?id=0Bx2OtiyyY20SX2FrYkdmd1ctT0k

quarta-feira, 20 de junho de 2012

Reconhecendo o conceito de semelhança

Esta postagem é para meus alunos da Especialização da UFF para professores de Matemática. É para a aula do dia 26 de junho. O aluno deve levar um pedaço de folha transparente, uma tesoura, caneta vermelha, lápis e borracha, além do texto do link a seguir impresso.

https://docs.google.com/open?id=0Bx2OtiyyY20SQnkySjluX0tIZU0

O visitante que quiser usar este material para dar aula pode ficar à vontade. Modéstia à parte, eu acho que o trabalho ficou bem legal.

segunda-feira, 11 de junho de 2012

Applets de Geometria

Eu criei um blog só para desenvolver animações eletrônicas criadas com o proprama GeoGebra. Acho que está ficando bem legal e pode ser útil para dar aula. O endereço é:

http://appletsdegeometria.blogspot.com.br/

segunda-feira, 26 de março de 2012

Combinação Linear - a origem da Álgebra Linear

Esta postagem é só para apresentar um texto sobre combinação linear que é a base da iniciação ao estudo da teoria matemática conhecida como álgebra Linear (eu ainda vou aumentar este texto, com conteúdo e com exercícios).

https://docs.google.com/file/d/0Bx2OtiyyY20SWjl6MXNNM0NUVGV5c3FvelRBODFwdw/edit

Se o visitante precisar de ajuda em seus estudos em Álgebra Linear, participe do grupo de discussão: https://www.facebook.com/groups/327353691583883/


sábado, 24 de março de 2012

Bibliografia de Álgebra Linear

Vou citar e comentar sobre alguns livros para o estudo de Álgebra Linear. Como o assunto é só Álgebra Linear, vou apenas dar o nome dos autores.

Se o visitante precisar de ajuda em seus estudos em Álgebra Linear, participe do grupo de discussão: https://www.facebook.com/groups/327353691583883/

Provavelmente, o melhor livro de Álgebra Linear é o de Hoffmann e Kunze. O problema deste livro é que ele é pesado. É para quem está afim de estudar Matemática para valer. Não dá para estudar Matemática como se assiste a um filme na TV e é impossível estudar este livro se o estudante estiver no espírito de ver TV sobre Álgebra Linear. Existem outros livros ótimos de Álgebra Linear, mas que só podem ser apreciados por aqueles que estejam realmente dispostos a aprender Matemática, e que estejam preparados para dedicação. Tem o livro do Paul Halmos, que é um ótimo autor de livros de Matemática. É muito bom ler os textos dele. Outra referência é o livro de Herstein, Tópicos em Álgebra.

Estas três referências são clássicas. Uma referência mais atual, ainda para quem está disposto a estudar de verdade, é o livro de Elon Lages. Inclusive, existe uma publicação só com respostas dos exercícios do livro do Elon Lages, ela foi escrita por Ralph Teixeira.

A quantidade de livros sobre Álgebra Linear é muito grande, quase absurda. Então, não é difícil encontrar novos e bons livros escritos por professores universitários que resolvem publicar suas notas de aula. Alguns autores de livros de nível intermediário, que ainda mantêm qualidade na apresentação dos conceitos e que eu posso sugerir são: João Pitombeira; Serge Lang; Callioli, Domingues e Costa; Renato Valladares; Flávio U. Coelho e Mary L. Lorenço.

Uma boa abordagem didática para a aprendizagem de Álgebra Linear é por meio de vetores. É muito interessante estudar por livros que misturem estes dois elementos. Uma boa referência neste sentido é o livro de Nathan Moreira dos Santos. Outra referência é o livro de Estela Kaufman e Noelir de Carvalho.

Existe uma linha de livros que não me agrada nem um pouco, são livros que preparam o aluno para passar na disciplina. São livros que esquematizam a matéria, restringindo o conteúdo ao modelo, definição, exemplo resolvido e exercícios de repetição. O ícone desta linha é o livro de Steinbruch e Winterle. É um livro que não ensina quase nada e que é muito adotado nas faculdades particulares. Outro livro que eu não gosto é o de Boldrini, Costa, Ribeiro e Wetzler. Eu só cito estes livros por que nem todo mundo está afim de estudar Matemática de verdade, muitos só querem passar mesmo. Na verdade, todo livro tem seu valor. Sempre podemos encontrar um exemplo que ajuda a entender melhor a metéria ou que é mais curioso.

Ainda nesta linha de livros que não me agradam, podemos encontrar alguns que podem ser úteis, nem que seja para uma iniciação à Álgebra Linear. Temos, por exemplo, Bernard Kolman; Ben Noble e James W. Daniel; Howard Anton. Tem um, neste contexto, que merece destaque, o livro de Adilson Gonçalves e Rita M. L. de Souza.

Um livro muito bom e que merece destaque é o livro de Jean Dieudonné, Algèbre linéare et géométrie élémentaire. Outro livro de destaque é o de Tom Apostol, Calculus. Aliás, este livro é ótimo e, apesar de ser para cálculo, tem uma boa parte de Álgebra Liner.

sexta-feira, 23 de março de 2012

Os números racionais cobrem a reta numérica?

A representação geométrica dos números inteiros e racionais, conhecida como reta numérica, é bastante conhecida. Agora, eu aposto que existe um fato que ainda deve deixar muitas dúvidas. Afinal, os números racionais cobrem a reta numérica ou não? Veja a próxima animação. Ela mostra a unidade da reta numérica e mostra uma fração da unidade, que varia com o valor estabelecido para q (faça o q variar na animação, mas faça com cuidado, pois como q pode assumir valores muito grandes, eles podem apresentar grandes variações). Para ver os submúltiplos da unidade, assinale a caixa na tela. Aí, você verá vários números racionais representados dentro do segmento unidade. O interessante é que, dependendo da quantidade de números racionais, a representação da animação pode dar a impressão de que todo o segmento foi coberto. Se você pensar assim, use o recurso de ampliação. Veja o que acontece. Se agora você pensar que os números racionais deixam buracos na reta, continue a aumentar os valores de q.



This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com


Ion Moutinho, Criado com GeoGebra

Bom, parece que existe uma situação sem definição. Se ampliamos a reta, percebemos lacunas. Mas, se aumentamos a quantidade de racionais, vemos as lacunas sendo preenchidas. Podemos continuar assim indefinidamente. E agora? O que o visitante acha, será que os racionais cobrem toda a reta?

Eu gostaria de saber a opinião do visitante. Se puder, comente sobre o que acha.

segunda-feira, 12 de março de 2012

Explorando a Geometria Dinâmica - I


Dentre os novos recursos tecnológicos para a aprendizagem de Matemática, sem dúvida o de maior destaque é o oferecido pela Geometria Dinâmica. As possibilidades que este recurso oferece parecem até ilimitadas. Eu destaco dois programas de Geometria Dinâmica, o GeoGebra e o Régua e Compasso (R.e.C), por serem programas livres. Na verdade, eu tenho preferência mesmo é pelo GeoGebra.

O visitante que quiser mais informações sobre estes programas e orientações sobre a instalação destes pode visitar a página do professor Humberto José Bortolossi, http://www.professores.uff.br/hjbortol/

No livro, Novas Tecnologias no Ensino da Matemática: Informática no ensino da matemática: repensando práticas. Rio de Janeiro: 2008, o professor Carlos Mathias, ressalta “o papel primordial do Princípio da Propriedade Mantida (PPM) no estudo da geometria, através do uso de programas de geometria dinâmica: oferecer uma alternativa intermediária entre a insuficiente investigação de um caso particular e a, por vezes inviável, demonstração formal do caso geral (p. 72)”.

O PPM é uma referência às propriedades de uma figura construída num programa de Geometria Dinâmica que se mantêm invariantes na movimentação da figura, ou de elementos que definem a figura. Este princípio não pode ser usado como uma prova matemática, de modo algum, mas indica um ótimo método de experimentação e de formulação de conjecturas matemáticas, elementos importantes para a aprendizagem matemática.

A seguir o visitante encontra algumas sugestões de atividades que podem ajudar um iniciante neste mundo da Geometria Dinâmica. As atividades foram elaboradas pensando-se no programa livre, GeoGebra. Porém, é provável que elas possam ser facilmente adaptadas para outros programas de Geometria Dinâmica.

 
Nestas atividades o aluno encontra tarefas que permitem explorar o PPM, além de outros recursos igualmente úteis. Algumas atividades podem parecer um tanto complicadas. Nestes casos, o visitante curioso não deve colocar a culpa no desconhecimento do programa, ou na própria atividade. Nestes casos, o visitante pode se sentir desafiado a usar seus conhecimentos geométricos, eles são fundamentais para o bom aproveitamento do GeoGebra, que é um programa facílimo de ser usado.

segunda-feira, 5 de março de 2012

Geometria Comparativa

Uma boa estratégia para se tirar maior proveito de um estudo da Geometria Euclidiana é estudar outro tipo de Geometria ao mesmo tempo. Por exemplo, o educador Húngaro, Istvan Lenart, é conhecido por defender o estudo comparativo entre a Geometria esférica e a Geometria Plana. Quer ver um exemplo de como o estudo comparativo pode ser importante? Se uma pessoa aprende sobre a noção de ângulo somente pela Geometria Euclidiana, ela talvez não sinta a necessidade de formalizar este conceito, pois um ângulo é algo que se parece com um ângulo (assim pode pensar um estudante). Este é só um exemplo do trabalho de Lenart. Se o visitante quiser saber mais sobre o assunto pode consultar, para começar, http://www.mav.vic.edu.au/files/conferences/2009/21Lenart.pdf.

Veja no link a seguir algumas atividades que orientam a explorar a Geometria Esférica. Para realizá-las você precisa do seguinte material: esfera de isopor, elásticos, alfinetes e linha.
 
https://docs.google.com/file/d/0Bx2OtiyyY20SMlhMOHM2TW1ROG1STmNnalU3b3pXdw/edit.


O visitante também encontra um bom estudo sobre a Geometria Esférica na tese de Maria Lúcia Torelli Doria de Andrade, com versão eletrônica situada em

http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/maria_lucia_torelli.pdf.

segunda-feira, 27 de fevereiro de 2012

Produto de um vetor do plano por um escalar

A seguir o visitante encontra um applet feito para estimular o aprendizado da noção de produto de um escalar por um vetor do R2. O ponto vermelho permite variar a representação de um vetor do R2. Note que você pode mudar a direção, o sentido e o tamanho do vetor. No seletor, você encontra a representação do escalar para ser multiplicado pelo vetor dado. O escalar está com o valor zero. Mudando o valor do escalar você vê o vetor produto do escalar pelo vetor dado.

Para entender melhor a noção de produto de vetor por escalar, tente realizar as seguintes atividades no applet.

Atividade 1: Verifique se a direção, o sentido e o tamanho do vetor a.u muda quando variamos o valor de a.

Atividade 2: Fazendo variar o parâmetro a, responda às perguntas.

1) Quando a.u tem sentido contrário ao de u?
2) Quando a.u tem o mesmo sentido que o de u?
3) Quando a.u tem tamanho menor do que o de u?
4) Quando a.u tem tamanho maior do que o de u?
5) Quando a.u e u têm o mesmo tamanho?

Obs.: Procure repetir a atividade com vetor numa posição diferente. Veja se suas conclusões mudam.




This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com


Ion Moutinho, Criado com GeoGebra

domingo, 26 de fevereiro de 2012

Reconhecendo a densidade dos números racionais na reta numérica

Esta postagem apresenta uma applet feito no GeoGebra que ajuda a perceber a propriedade sobre a densidade dos números racionais na reta numérica. O objetivo é se convencer de que entre dois pontos de uma reta sempre existe um múltiplo da unidade, ou de uma fração da unidade, entre estes pontos. Ou seja, entre dois pontos da reta numérica sempre existe um número racional. Para isso, o visitante pode escolher posições arbitrárias para os pontos A e B (eles podem ser transladados, podem ser colocados afastados ou próximos). Aí, deve tentar colocar um ponto que represente uma fração p/q entre A e B aumentando fazendo variar o valor do numerador p e do denominador q. Caso ele não consiga na primeira escolha de valores para p e q, mude-os e tente novamente. O visitante poderá verificar que sempre é possível escolher valores p e q de modo que se encontre um ponto entre A e B que representa uma fração de inteiros. GeoGebra Planilha dinâmica

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Ion Moutinho, Criado com GeoGebra

quarta-feira, 22 de fevereiro de 2012

Quer ter sucesso nas disciplinas de Matemática? Comece montando um quebra-cabeça de mil peças!

A impressão que um aluno universitário tem de uma disciplina de Matemática é certamente bem diferente do que a que se costuma ter de qualquer outro tipo de disciplina. Esta diferença começa já a partir do alto índice de reprovação que sempre encontramos em disciplinas como Cálculo e Álgebra Linear, por exemplo. Ou seja, a primeira impressão que todo aluno que se inscreve numa disciplina de Matemática tem é que a matéria é difícil e que ele provavelmente vai ser reprovado.

As impressões negativas sobre as disciplinas matemáticas são inúmeras. Uma consequência imediata natural é a desmotivação para estudá-las, outro fator que contribui para a reprovação, ou para um aproveitamento insuficiente destas disciplinas.

Agora, na minha opinião, o maior problema que podemos encontrar quando cursamos uma disciplina matemática é a própria estrutura de estudo deste tipo de disciplina. Por exemplo, se você parar para pensar sobre o conteúdo básico que é cobrado numa disciplina de Cálculo, só para fixar ideia, vai ver que ele é bem simples, limite, derivada e integral. Se você parar um instante para ler sobre estas ideias (de limite, derivada e integral), vai ver que elas são bem simples. Outro exemplo, se parar para analisar o conteúdo de Álgebra Linear, você verá que quase todo ele se reduz ao estudo de sistemas lineares, um tópico que é relativamente simples, assunto de estudo desde o ensino médio. Ou seja, o que complica num estudo matemático não é exatamente o conteúdo, não a princípio. O que complica é a forma como temos que estudar este tipo de conteúdo.

Bom, falar sobre o que está envolvido em um estudo matemático nos tomaria um tempo bem maior do que procuro gastar aqui nas minhas postagens. Em vez disso, vou dar um exemplo onde vocês podem encontrar um ambiente de dificuldades bastante parecido com o que encontramos nas disciplinas matemáticas. O exemplo, na verdade, pode ser tomado como um exercício e é o seguinte. Procure montar um quebra-cabeça de mil peças, ou de quinhentas mesmo.

Iniciar a montagem de um quebra-cabeça é muito simples. Por exemplo, pegamos os quatro cantos, pegamos todas as peças retas e tentamos montar a região limite do quebra-cabeça. Relativamente fácil! Depois, podemos adotar outras estratégias. Por exemplo, podemos separa as peças por cores. A ideia é bem simples! A coisa começa a ficar interessante quando percebemos que a estratégia não funciona tão bem. Peças verde que deveriam fazer parte daquele local onde fica uma árvore não encaixam no espaço. Como isto não faz sentido, adotamos outra estratégia. Por exemplo, montamos partes que tem detalhes fáceis de se identificar, como um rosto, o telhado de uma casa, a ponta da montanha, etc. Porém, outra coisa chata deve acontecer aí. Por exemplo, aposto como peças que você separou para montar o telhado vão sobrar também. Bom, quando algumas estratégias começam a falhar, começa a irritação com o jogo. Esta pode ser uma boa hora para um pausa. Voltando à montagem, uma boa ideia é voltar às estratégias fracassadas. Por exemplo, se voltarmos às peças verdes separadas, podemos perceber que temos verdes com texturas diferentes (falando sempre hipoteticamente, é claro). Aí, é preciso fazer uma nova classificação de peças verdes. Isto é só um exemplo. Num quebra-cabeça de mil peças, certamente teremos inúmeros problemas parecidos. Só para enriquecer a minha ilustração, outra situação que deve acontecer durante a montagem do quebra-cabeça é a seguinte. No meio de tantas situações adversas, a montagem do quebra-cabeça vai ficando lenta, tendendo a desistência do jogador. Se o jogador for persistente, com o tempo, ele provavelmente irá perceber detalhes que não tinha visto antes. Por exemplo, verá que existe um outro pedaço do cenário onde também exstem detalhes com telhado. Ou seja, aquelas peças que você achou que estavam sobrando na verdade servem para outro local. Neste momento, o que vai ajudar na continuação da montagem é conhecer bem os detalhes do cenário. Aposto como no início você deixou de perceber inúmeros detalhes importantes.

Esta conversa sobre a montagem de um quebra-cabeça também vai longe. O melhor é o leitor viver a sua própria experiência de montagem. Experimente! Faça isso e analise os momentos que você vai viver, a vontade de desistir e a motivação que você encontra para superar esta vontade, além dos contratempos que você encontra e as estratégias que você bola para contorná-los, sem falar na paciência e calma.

Caro leitor, se você estuda alguma disciplina de Matemática, viva a experiência de montar um grande quebra-cabeça! Saiba que ela é bastante parecida com o que vivemos quando cursamos uma disciplina de Matemática. Aí, para ter sucesso na disciplina, verá que também é preciso lançar mão da mesma vontade, paciência e disciplina usada na montagem do quebra-cabeça.

Só para concluir, é claro que estou falando do aspecto psicológico. Se você olhar com calma, é possível encontrar várias analogias entre um estudo matemático e a montagem de um quebra-cabeça. Mas, é evidente que o estudo matemático é bem mais complexo do que a montagem de um quebra-cabeça. Ainda assim, vale a pena perceber como que certos sintomas negativos que vivemos nestes dois tipos de experiências são parecidos. Se você for capaz de superar os sintomas difíceis que encontramos na montagem de um quebra-cabeça complexo, pelo menos poderá tentar levar a sensação de superação vivida no quebra-cabeça para a sua disciplina de Matemática.

A propósito, qual é mesmo a utilidade de se montar um quebra-cabeça?