Estudo de sinais das derivadas 1a e 2a

Quando uma função é duas vezes derivável, podemos fazer um esboço do seu gráfico de forma bem detalhada, sem precisar conhecer "todos" os seus valores. As atividades a seguir tratam desse assunto. O pré-requisito principal aqui é saber fazer o estudo de sinais de uma função, além de precisar saber derivar.

Dificilmente somos capazes de vizualizar uma função, e suas particularidades, apenas olhando para a expressão algébrica que a define. Contudo, se conseguirmos informações sobre os sinais da 1a e 2a derivadas, já podemos criar uma boa imagem da função. Esse conteúdo é resumido nos quadros a seguir.

A visualização ainda fica melhor quando combinamos os dois quadros.

Atividade 1: Acesse a construção gráficos e para cada função crie uma tabela de estudo de sinais de f' e f''.

Atividade 2: Ainda considerando a construção gráficos, responda, para cada função:
a) Determine os pontos críticos da função, se houver.
b) Determine os pontos de inflexão, se houver.
c) Determine, se houver, os pontos de máximo, local e global.
d) Determine, se houver, os pontos de mínimo, local e global.
e) Determine, se houver, o valor máximo e o valor mínimo.

Atividade 3: Para cada função dada a seguir: i) determine os pontos críticos; ii) faça um estudo de sinais da derivada primeira; iii) determine os pontos de inflexção; iv) faça um estudo de sinais da derivada segunda; v) apresente um esboço do gráfico.
a) f(x) = x² - 4x - 1
b) f(x) = 3x² - 3x + 2
c) f(x) = x³ - 9x² + 15x - 5
d) f(x) = x³ - x² - x
e) f(x) = 2x³ - 9x² + 2
f) f(x) = 1/4x⁴ - x³ + x²
g) f(x) = x⁴ + 4x
h) f(x) = (x - 2)/(x + 2)
i) f(x) = x⁵ - 5x³ - 20x - 2
j) f(x) =  3x⁵ + 5x⁴
k) f(x) = 2x/(1 + x²)

Atividade 4: Desenhe num mesmo plano cartesiano o gráfico de x³ e de x^1/3.