Funções partidas

Função partida ou função definida por partes é uma função definida por uma regra que não é geral para todo o domínio. Ou melhor, a correspondência entre valores é estabelecida por partes.

Um bom exemplo dessa ideia é dado pela função módulo. Normalmente encontramos a apresentação:

Quando uma função é definida por duas partes, antes e depois de um determinado valor de x, a forma geral de apresentação dessa função costuma seguir esse modelo.

Funções definidas por partes são uma ótima fonte de exemplos de funções com descontinuidade num ponto. Assim, se o leitor pesquisar sobre o assunto, verá muitos exemplos de funções partidas com cara de uma função de fato "partida", "cortada". Mas não é sempre assim!

As atividades a seguir falam justamente sobre funções definidas por parte que ainda são contínuas. O problema de estudo proposto é o de estabelecer quando uma função partida, definida por expressões deriváveis, continua sendo derivável.

Dica: Recorra ao GeoGebra para ajudar nas tarefas.

Atividade 1:

a) Determine uma função tal que f(3) = 2.

b) Determine outra função tal que f(3) = 2.

c) Determine uma função partida tal que f(3) = 2, usando as expressões dos dois exemplos anteriores.

d) A função obtida em (c) é derivável em x = 3?

Atividade 2: Considere a função definida para x ≤ 1 pela expressão 1/(1 + x²). Encontre uma expressão quadrática que estenda a função de modo que ela seja derivável em x = 1.

Atividade 3:

a) Determine a derivada de f(x) = 1/(1 + x²) em x = 1.

b) Determine a equação da reta tangente a função f.

c) Encontre uma expressão quadrática tal que o valor seja f(1) e tenha derivada f’ (1), no ponto em x = 1.

d) Resolva a Atividade 2.

Fechamento: Considere f uma função partida do tipo:

Suponha que expressão 1 e expressão 2 seja deriváveis. Que condições garantem que a função f seja derivável no ponto a?