Para pensar sobre funções

Segue uma lista de problemas a respeito de funções que demandam um pouco de maturidade do aprendiz, o objetivo maior é refletir sobre o conceito.

1) Sejam f e g funções definidas no intervalo [-2, 3] e tais que [1, 23] é a imagem de f e [-5, 12] é a imagem de g.
     a) Podemos garantir que existe uma solução x para o sistema de equações, {f(x) = 2, g(x) = 2?
     b) Podemos garantir que não existe uma solução x para o sistema de equações, {f(x) = 13, g(x) = 13?

2) Seja f uma função crescente definida num intervalo aberto (a, b).
     a) Podemos garantir que a imagem de f é um intervalo?
     b) Podemos garantir que a imagem de f não é um intervlo fechado?
     c) Podemos garantir que a imagem de f não tem valor máximo nem mínimo?
(Dica: Procure produzir diferentes exemplos de funções crescentes definidas num único intervalo aberto, digamos (0, 1), só para fixar ideias.)

3) Verdadeiro ou falso: Se as funções f, g são dadas pela relação f(x) = x e g(x) = x² então f ⩽ g.

4) Verdadeiro ou falso: É possível existirem duas funções constantes, com o mesmo valor, mas que sejam diferentes.

Quando não sabemos calcular o valor!

Existem situações onde não conseguimos estabeler um valor preciso para a variável em estudo. Vejamos alguns casos.

Exemplo 1: Como obter o resultado final da divisão 1 : 3?
Para entender a questão de um ponto de vista geométrico, indicamos que o visitante explore a animação sobre frações e representações decimais.

Exemplo 2: Como encontrar a representação decimal exata do número x tal que x² = 2?
Para tentar medir tal x indicamos a animação sobre comprimentos notáveis.

Exemplo 3: Qual é a área do círculo de raio 1?
O visitante pode explorar uma tentativa de obter essa área pela animação em área de um círculo.

Nos casos ilutrados aqui vemos situações onde não podemos efetuar algumas somas e multiplicações e obter o resultado final. Em cada caso, precisamos fazer contas parciais, cujos resultados se aproximam do valor desejado.

Mas, como saber qual é de fato o resultado desejado? Aliás, como saber se ele existe? Existindo tal valor procurado, como saber que estamos procedendo corretamente com essas contas parciais? Como saber que obtemos um valor realmente próximo do procurado?

Vejamos uma situação que pode nos confundir. Queremos calcular o comprimento do caminho azul, mas eu não sei calcular comprimento de diagonais. Consideremos, então, o caminho verde. Digamos que os dois segmentos verdes possuam tamanho 1, donde o caminho verde mede 2. Assim, o caminho azul mede algo próximo de 2! Acho que essa não parece uma boa estimativa, não? O caminho verde está muito longe do caminho azul! E se pegássemos um caminho mais próximo, como o vermelho? Será que ele serve para estimar o comprimento do caminho azul? Bom parece melhor do que usar o verde, não?

Explore essa aproximação por curvas.

O leitor pode conferir, juntando os segmentos vermelhos, temos que o comprimento também mede 2! Isso pode contrariar a intuição de alguns. Não importa quão próximo pareça uma curva como a vermelha (em forma de escada), o comprimento dessas curvas é constante igual a 2 e, em particlar, o cálculo desses valores não leva a uma aproximação do comprimento do caminho azul.

Resumindo, para situações que não conseguimos meios de obter um valor desejado de modo direto, dentro dos recursos disponíveis, precisamos lançar mão de novos meios. Para esse tipo de problema, esse novo meio é dado pelo termo "Limite". Para o melhor tratamento de diversas questões matemáticas, algumas bem básicas, é preciso se iniciar no mundo dos "limites".

O estudo de funções, antes do Cálculo

Para o início do estudo do Cálculo Diferencial e Integral é fundamental conhecer bem o conceito de função. Vou deixar algumas orientações de estudo desse tópico.

O conceito

Seja I um subconjunto de ℝ (provavelmente um intervalo). Uma função real de variável real é um terno de três objetos matemáticos: uma variável x que assume valores em todo o conjunto I, uma variável y que assume valores  em ℝ e uma regra y = f(x) que estabelece uma correspondência de valores de x para y.

Observações:

• A notação y = f(x) é só para dizer que valores de y estão associados a valores de x. Ou que mudanças em x provocam mudanças em y. Mas isso não significa que exista uma fórmula para a relação.
• A rigor, só o conhecimento de uma regra y = f(x) não estabelece uma função. É preciso fixar também o conjunto I, chamado de domínio da função.
• Costumamos usar uma única letra para representar todo o objeto função. No caso, se usamos a regra y = f(x), é comum chamar o objeto função pela letra f.
• A fim de explicitar todos os objetos, às vezes usamos a notação mais completa para uma dada função de domínio I e regra y = f(x), a saber, f : I ⊂ ℝ → ℝ. Se conhecemos a regra explícita da função completamos a notação com a regra. Exemplo: f : [0, 1] → ℝ, f(x) = 2x + 1.

Terminologia:

Dada uma função f : I ⊂ ℝ → ℝ, y = f(x), costumamos utilizar algumas terminologias.

• A variável x é chamada variável independente.
• A variável y é chamada variável dependente.
• É comum falar sobre x dizendo o ponto x e sobre y dizendo o valor y.

Exemplo: Se y = x² + x – 2, o valor de y no ponto x = 3 é 10.

Sugestões para o estudo de algumas funções particulares:

• Função afim (agora com MUITOS exercícios!)
• Função exponencial
• Para estudar um gráfico (com exercícios!)