Introdução ao estudo de concavidade

Antes de formalizar o conceito, vejamos com mais detalhes sobre as funções monótonas. Vamos nos fixar nas funções crescentes.

Essencialmente podemos pensar em TRÊS tipos diferentes de funções crescentes. Dependendo da interpretação, podemos pensar até em mais casos. O leitor consegue pensar nos três casos básicos? Consegue pensar em mais casos? A próxima atividade trata dessa questão.

Atividade 1: Considere a seguinte construção, https://www.geogebra.org/m/ncHDfwqM, e crie exemplos de funções crescentes que de alguma maneira sejam diferentes.
a) Quantos exemplos diferentes você consegue produzir?
b) Você produziu exemplos onde o gráfico apresentava uma concavidade para cima? Quantos?
c) Você produziu exemplos onde o gráfico apresentava uma concavidade para baixo? Quantos?

A próxima atividade é uma sugestão de exploração a partir de diversos exemplos numéricos.

Atividade 2:

a) Faça o esboço de gráfico de funções polinomiais de grau 1, 2 e 3, faça diversos exemplos.

b) Para cada exemplo obtido, compare o gráfico obtido, principalmente a concavidade das curvas, com a expressão da derivada.

c) Descreva o que percebeu.

Atividade 3: Considere a figura a seguir que representa o gráfico de três funções distintas.

A animação sobre concavidades pode ajudar nessa tarefa.

a) Apresente uma propriedade comum às três funções, em termos de derivada.
b) Apresente uma característica exclusiva de cada função, que não seja dividida pelas outras duas funções, também em termos de derivada.

Quando a reta secante não converge.

Nem sempre uma função possui derivada num ponto dado do seu domínio. Uma forma de abordar essa questão é pela representação geométrica. Nesse caso, a existência da derivada está associada a aproximação da reta taangente por retas secantes. A questão é que nem sempre essa aproximação ocorre de forma precisa.

A seguinte construção eletrônica deve ajudar o leitor a explorar e entender melhor a questão.

Quando a reta secante não converge.

Funções partidas

Função partida ou função definida por partes é uma função definida por uma regra que não é geral para todo o domínio. Ou melhor, a correspondência entre valores é estabelecida por partes.

Um bom exemplo dessa ideia é dado pela função módulo. Normalmente encontramos a apresentação:

Quando uma função é definida por duas partes, antes e depois de um determinado valor de x, a forma geral de apresentação dessa função costuma seguir esse modelo.

Funções definidas por partes são uma ótima fonte de exemplos de funções com descontinuidade num ponto. Assim, se o leitor pesquisar sobre o assunto, verá muitos exemplos de funções partidas com cara de uma função de fato "partida", "cortada". Mas não é sempre assim!

As atividades a seguir falam justamente sobre funções definidas por parte que ainda são contínuas. O problema de estudo proposto é o de estabelecer quando uma função partida, definida por expressões deriváveis, continua sendo derivável.

Dica: Recorra ao GeoGebra para ajudar nas tarefas.

Atividade 1:

a) Determine uma função tal que f(3) = 2.

b) Determine outra função tal que f(3) = 2.

c) Determine uma função partida tal que f(3) = 2, usando as expressões dos dois exemplos anteriores.

d) A função obtida em (c) é derivável em x = 3?

Atividade 2: Considere a função definida para x ≤ 1 pela expressão 1/(1 + x²). Encontre uma expressão quadrática que estenda a função de modo que ela seja derivável em x = 1.

Atividade 3:

a) Determine a derivada de f(x) = 1/(1 + x²) em x = 1.

b) Determine a equação da reta tangente a função f.

c) Encontre uma expressão quadrática tal que o valor seja f(1) e tenha derivada f’ (1), no ponto em x = 1.

d) Resolva a Atividade 2.

Fechamento: Considere f uma função partida do tipo:

Suponha que expressão 1 e expressão 2 seja deriváveis. Que condições garantem que a função f seja derivável no ponto a?

Uma introdução à Regra da Cadeia

Montei um pequeno guia de estudo para uma introdução à conhecida regra da cadeia.

Sugiro que o visitante obtenha o guia de estudo, estude os exemplos e resolva os exercícios sugeridos. Nesse guia você deve aprender sobre expressões compostas (mesmo que não seja definido o que exatamente é uma expressão composta - isso será assunto de discussão em sala) e sobre como calcular derivadas pela regra da cadeia para dois tipos específicos de expressões.

Importante: A ideia desse estudo é aprender seguindo os exemplos resolvidos como modelo. É imortante consultar os exemplos resolvidos e prestar bastante atenção nos detalhes das contas. E, como sempre, a principal dica é insistir, não desista na primeira dificuldade.

Após o estudo, o visitante pode buscar outras referências. Algumas sugestões:

Khan Academy

Responde Aí

Dicas de Cálculo

Uma prova

Segue um exemplo de prova que já apliquei com alunos meus.

Referências na internet para o estudo de Cálculo

Vou deixar aqui algumas dicas de bons materiais de estudo que encontramos livres na internet.

Gimenez-Starke / UFSC

Patrão / UNB

Vilches-Corrêa / UERJ

Federson-Planas / USP

Indeterminadas

Um tipo de expressão que é uma fonte de problemas com relação ao cálculo de limites é a dada por uma fração P(x)/Q(x) tal que lim P(x) = lim Q(x) = 0, quando x → a.

Um exemplo de situação assim é retratado na seguinte figura.

Criando assíntotas

O objetivo deste estudo é visualizar assíntotas horizontais e verticais a partir do conhecimento da expressão algébrica que define uma função. E o estudo é exploratório, é baseado na realização de tarefas com apoio de algum programa de gráfico.

A rotina de trabalho é simples, pensa numa expressão e a escreva no programa para gerar o gráfico. Repita o processo até obter a figura desejada. E a regra para escrever a resposta para cada tarefa é a seguinte: a) Antes de produzir o gráfico, escreva porque escolheu a expressão. b) Depois do gráfico produzido, explique a relação entre a expressão criada e a imagem obtida. c) Repita (a) e (b) toda vez que tentar um novo gráfico.

Tarefa 1: Encontre uma expressão algébrica que produza um gráfico como a seguir. (Seria como uma parábola que recebeu uma assíntota vertical.)

Tarefa 2: Encontre uma expressão algébrica que produza um gráfico como a seguir. (Seria como uma taça feita de uma parábola e uma assíntota vertical.)

Tarefa 3: Para cada item, crie uma função que apresente assíntotas verticais e horizontais, ao mesmo tempo, cuja expressão algébrica possua na fórmula: a) √x ; b) sen(x) ; c) exp(x) .