Quando não sabemos calcular o valor!

Existem situações onde não conseguimos estabeler um valor preciso para a variável em estudo. Vejamos alguns casos.

Exemplo 1: Como obter o resultado final da divisão 1 : 3?
Para entender a questão de um ponto de vista geométrico, indicamos que o visitante explore a animação sobre frações e representações decimais.

Exemplo 2: Como encontrar a representação decimal exata do número x tal que x² = 2?
Para tentar medir tal x indicamos a animação sobre comprimentos notáveis.

Exemplo 3: Qual é a área do círculo de raio 1?
O visitante pode explorar uma tentativa de obter essa área pela animação em área de um círculo.

Nos casos ilutrados aqui vemos situações onde não podemos efetuar algumas somas e multiplicações e obter o resultado final. Em cada caso, precisamos fazer contas parciais, cujos resultados se aproximam do valor desejado.

Mas, como saber qual é de fato o resultado desejado? Aliás, como saber se ele existe? Existindo tal valor procurado, como saber que estamos procedendo corretamente com essas contas parciais? Como saber que obtemos um valor realmente próximo do procurado?

Vejamos uma situação que pode nos confundir. Queremos calcular o comprimento do caminho azul, mas eu não sei calcular comprimento de diagonais. Consideremos, então, o caminho verde. Digamos que os dois segmentos verdes possuam tamanho 1, donde o caminho verde mede 2. Assim, o caminho azul mede algo próximo de 2! Acho que essa não parece uma boa estimativa, não? O caminho verde está muito longe do caminho azul! E se pegássemos um caminho mais próximo, como o vermelho? Será que ele serve para estimar o comprimento do caminho azul? Bom parece melhor do que usar o verde, não?

Explore essa aproximação por curvas.

O leitor pode conferir, juntando os segmentos vermelhos, temos que o comprimento também mede 2! Isso pode contrariar a intuição de alguns. Não importa quão próximo pareça uma curva como a vermelha (em forma de escada), o comprimento dessas curvas é constante igual a 2 e, em particlar, o cálculo desses valores não leva a uma aproximação do comprimento do caminho azul.

Resumindo, para situações que não conseguimos meios de obter um valor desejado de modo direto, dentro dos recursos disponíveis, precisamos lançar mão de novos meios. Para esse tipo de problema, esse novo meio é dado pelo termo "Limite". Para o melhor tratamento de diversas questões matemáticas, algumas bem básicas, é preciso se iniciar no mundo dos "limites".