terça-feira, 28 de setembro de 2010

Você realmente conhece os números reais?

           Caro visitante, você conhece bem os números reais? Este é um assunto que faz parte da vida de todo estudante do último cíclo do ensino fundamental e faz parte do programa de Matemática de todo o ensino médio. Uma grande fração dos cursos universitários faz uso deste conhecimento. Assim, me parece uma pergunta a se considerar com carinho. Nestes casos que acabei de apontar, o conhecimento de números reais é usado. Agora, se você já é professor, ou está se preparando para ser, a pergunta fica mais abrangente. Neste caso, eu pergunto se você saberia ensinar este conceito.

Certa vez, tentando entender porque meus alunos não apresentavam bom rendimento na disciplina de Análise, fui procurar entender o que meus alunos sabiam sobre os números reais. Descobri que os livros didáticos apresentavam este assunto muito rapidamente. Na verdade, acho que isto é feito de modo tão rápido que se pode dizer que eles não apresentam o conteúdo ao aluno. Nas minhas leituras, comecei a perceber que a grande maioria dos livros didáticos, não só do ensino básico, fazem referência aos números reais de uma forma que me incomodou bastante.

Para enender este problema, vamos fazer um exercício e tentar nos colocar no lugar de um estudante que vai aprender sobre os números reais. Ele está construindo seu conhecimento sobre o assunto. Vamos imaginar que, no momento, ele conheça somente os números racionais. Para que se fale em novos números parece que é preciso apresentar antes este novo conjunto numérico. Mas, vejamos alguns trechos retirados de livros didáticos sobre o assunto.


“Há números cuja representação é um decimal infinito e não-periódico.”

“Um número que não pode ser expresso como uma razão de dois inteiros chama-se número irracional.”

“Existem números que não são racionais. Números como esses, que jamais se escrevem sob a forma de fração com numerador inteiro e denominador inteiro diferente de zero, chamam-se não racionais ou irracionais.”

“Números irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração.”

Na sequência destes livros, o que se vê é a afirmação de que “os números reais são a reunião dos números racionais com os números irracionais”.

Vejamos como eu imagino que seria uma apresentação dos números reais em uma sala de aula, segundo os livros didáticos. Mas, lembre-se da nossa convenção de admitir que só conhecemos os números racionais.

Chega o professor em sala e fala: “número irracional é todo número que não é racional”. O que você acha? Isto faz sentido? Até então, todo número é racional e ponto. Não é assim? Esta conversa não parece um tanto irracional?

Mas, se perceber esta dúvida, o professor pode argumentar: “Existe um conjunto de números maior do que os números racionais, é o conjunto dos números reais”. Acho que é natural, então, perguntar: “Quem é este tal conjunto de números reais?”. Seguindo a lógica de muitos livros didáticos, o professor provavelmente responderá: “Os números reais são formados pelos números racionais e irracionais”. Recomeça a nossa história: “Mas, o que são os números irracionais?”...

Agora, imagine se um aluno mais tímido aceita passivamente esta definição sem nexo. Então, ele pode pensar que tudo que não é racional é irracional? Imagine, então, quando o aluno aprender novos conjuntos. Ele poderá perguntar, por exemplo, se uma matriz é irracional? Ah, só vale para número. Imagine agora quando o aluno aprender sobre os números complexos, que é um conjunto numérico também. Se ele ficar com a idéia de que “o número que não é racional é irracional”, poderá, então, deduzir que todo número complexo que não é racional é irracional, não é? O número i é irracional? 2 + i é irracional? E a situação ainda piora... se os irracionais contêm os números complexos e se o conjunto dos números reais é formado pelos racionais e irracionais então o conjunto dos números complexos está contido no conjunto dos reais? Que confusão!

Uma sugestão: pesquise e veja se você encontra definições assim. Pense e veja se é justo com os alunos continuar a propagar este tipo de trabalho. A propósito, nem todo livro apresenta o conceito de número real desta forma, mas se você fizer uma leitura mais atenta, aposto como verá que a situação quase sempre se reduz a que acabei de narrar. Confira!

Será que não é possível fazer uma abordagem mais coerente e didática sobre o assunto? Venhamos e convenhamos, não é possível que a única maneira de se lidar com os números reais seja por meio da representação decimal infinita e não-periódica. Além do mais, os professores vivem tentando combater a idéia de que a Matemática é artificial. Só que, com a apresentação dos números reais a partir da exibição de sequências como 1,0100100010001..., fica difícil ser bem sucedido neste combate.

Será que não é possível apresentar explicitamente um modelo do conjunto dos números reais? Bem entendido, “apresentar explicitamente” deve significar construir um modelo a partir de conhecimentos anteriores, no caso, os números racionais.

Só para ficar claro que as apresentações convencionais sobre os números reais não são boas, vamos adotar aquela visão de que o conjunto dos números reais é aquele que se coloca em correspondência biunívoca com uma reta. Neste caso, podemos concluir que o conjuntos dos números reias é igual ao conjunto dos números complexos.

De fato, os números complexos podem ser vistos como pares (a, b), com a, b ÎR. Se a0,a1a2a3... e b0,b1b2b3... são a representação decimal infinita de a e b, respectivamente, vamos fazer (a, b) corresponder ao ponto da reta cuja representação decimal seja a0,b0a1b1a2b2a3b3.... Como o processo pode ser invertido, temos uma correspondência biunívoca entre pontos de C e R. Logo, C = R.

E agora, você acha que conhece os números reais?

3 comentários:

  1. Nao sei como expressar cada decimal infinito como a razão de dois inteiros.

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  2. Ion, adorei este post... Fez com que me lembrasse da primeira aula do Kubrusly sobre Método dos Elementos Finitos... A aula de apresentação sempre tinha um pouco de tudo, rsrsr. Filosofia, álgebra, algebra linear...Ele quase pirou a cabeça dos alunos com o fato do "tamanho do infinito" dos irracionais ser "diferente" do "tamanho do infinito" dos inteiros... Acho que a dificuldade talvez estivesse no fato dos alunos não entenderem (ou não terem aprofundado em seus estudos) o que é cardinalidade de um conjunto e que pode ou não haver uma correspondência biunívoca entre eles, e como consequencia, não entendem (ou não percebem) que alguns conjuntos são não-enumeráveis, como o conjunto dos Numeros Reais, por exemplo. Valeu!

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