sábado, 11 de setembro de 2010

Gabarito

Veja os problemas da postagem do dia 5 de setembro resolvidos de duas maneiras, por contagem e através de alguma técnica.

Exemplo 3: Um comerciante compra um determinado produto do fabricante. Este cobra 100 reais pela entrega e mais 15 reais por cada peça. Porém, o comerciante descobriu um novo fabricante que vende o mesmo tipo de peça, mas por 13 reais a unidade. O problema é que a taxa de entrega é de 150 reais. Se o comerciante pretende comprar 14 peças, qual fabricante oferece as melhores condições?


Solução: É só contar. Vejamos a lista de preço por peças compradas.
1º Fabricante: 115, 130, 145, 160, 175, 190, 205, 220, 235, 250, 265, 280, 395, 310.
2º Fabricante: 163, 176, 189, 202, 215, 228, 241, 254, 267, 280, 293, 306, 319, 332.
Assim, é vantagem comprar com o primeiro fabricante.

Uma forma de resolver o problema é comparando expressões. A fórmula do preço para cada fabricante é:
1º Fabricante: y = 15x + 100
2º Fabricante: y = 13x + 150
Para x = 14 temos:
1º Fabricante: y = 15.14 + 100 = 310
2º Fabricante: y = 13.14 + 150 = 332

Exemplo 4: Uma piscina de 300 litros, vazia, recebe água a uma vazão constante. Imagine que você tenha um balde de 6 litros e que marcou o tempo que levava para encher o balde, 2 minutos. Quando a piscina ficará cheia?

Solução: Contando, temos a quantidade de litros a cada 2 minutos: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...
Dá para ver que esta contagem de 2 em 2 minutos vai levar um tempo. Pelo padrão de repetição de valores, pode ser interessante contar de 10 em 10 minutos. Aí, temos: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300. Assim, depois de 100 = 10.10 minutos, a piscina ficará cheia.

Por regra de 3, pode-se resolver o problema mais facilmente: 6 está para 2, assim como 300 está para t. Logo, 6/2 = 300/t, donde t = 2.300/6 = 100.

Exemplo 5: Determine o número de múltiplos de 4 que estão entre 15 e 65.

Solução: Os múltiplos de 4 entre 15 e 65 são: 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64. Logo, o número de múltiplos no intervalo dado é 13.

É claro que se você sabe progressão aritmética, pode considerar a sequência de 1º termo, 16, e razão, 4. O n-ésimo termo é 64. Logo, n é dado por 64 = 16 + (n – 1)4, donde n = 52/4 = 13.

Exemplo 1: Uma solução nada convencional para este problema é simplesmente medir, contando através da unidade, cada lado. O problema é que a unidade do desenho não se sobrepõe a dois lados do triângulo. Para contornar este problema, use um compasso. É imediato verificar que o perímetro é 12.
Exemplo 6: Determine a probabilidade de se obter, em dois lançamentos de um dado, o número 2 e 3, independente da ordem.

Solução: Para resolver, basta saber contar e o significado do termo probabilidade. No caso, a probabilidade de um evento acontecer é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de possíveis casos.
Números de casos favoráveis: Este número é fácil de se obter. Temos a possibilidade de resultados (2, 3) e temos a possibilidade (3, 2). São 2 casos favoráveis.
Número de casos possíveis: Para determinar este número, basta enumerar os casos possíveis. Temos (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6). O total é de 36 casos possíveis.
Assim, a probabilidade é 2/36 ~ 0,05 = 5%.

Podemos obter este valor diretamente, a partir de técnicas da teoria de Probabilidade. Por exemplo, podemos dividir o problema em dois eventos. O primeiro evento é dado pelo lançamento do dado e ocorrendo 2, cuja probabilidade é 1/6. O segundo evento é dado pelo lançamento do dado e ocorrendo 3, cuja probabilidade é 1/6. Como estes dois eventos são independentes, a probabilidade de que ocorra 2 no primeiro lançamento e 3 no segundo lançamento é dada por 1/6.1/6 = 1/36. Repetindo o raciocínio para o sorteio de 3 e 2 nos dois lançamentos, temos que o resultado é 1/36 + 1/36 = 2/36.

Comentários: 1) Comparando as soluções, deve ficar claro que contagem não é o processo mais eficiente, mas se você não sabe nenhuma técnica, contagem pode ser uma ótima opção.


2) A realização de contagens, para quem está aprendendo Matemática, deve ser uma ótima oportunidade para perceber padrões e desenvolver estratégias. Isto pode ser utilizado nas situações mais simples como o entendimento da notação decimal e a definição de soma, assim como do algoritmo da soma. Mais uma vez, alerto para a possibilidade de se desenvolver boas aulas com o uso de contagens.

3) Existem técnicas interessantes para se fazer contagem sem esforço. Um exemplo é a utilização de uma trena. Com este recurso, o problema do exemplo 5 pode ser resolvido posicionando um pedaço de barbante medindo 4 cm em cima do primeiro múltiplo depois de 15, o 16. Aí, basta pular com o barbante de marca em marca, até chegar na última marca antes de 65. Não pode esquecer de contar quantas marcas foram obtidas.

4) Este pode ser por sua conta, participe.

2 comentários:

  1. Professor, adorei o blog! Com certeza, virei visitá-lo mais vezes. Abç.
    Andréa (aluna matemática, UFF/consórcio cederj - saquarema)

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  2. Andréa, que bom que gostou. Ainda pretendo postar sobre assuntos mais variados e mais interessantes, espero. Vou ficar aguardando novas visitas, e participações. Abraços!

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