domingo, 5 de setembro de 2010

Sobre uma iniciação à Matemática

“Eu não sei nada de Matemática”, "Sou péssimo em Matemática". Este tipo de frase é bastante comum, não? Saiba, então, que, se você sabe contar, não tem o direito de repeti-las. Veja os exemplos a seguir.

Exemplo 1: Determine o perímetro do triângulo dado na figura.

Exemplo 2: Um forno é desligado quando a temperatura estava a 200ºC. Passado um minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha mudado para 188ºC, ou seja tinha diminuído 12ºC. Passado mais um minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha diminuído mais 12ºC, passando para 176ºC. Admitindo que este comportamento se mantenha, quanto tempo o forno levará para atingir a temperatura ambiente de 20ºC?

Exemplo 3: Um comerciante compra um determinado produto do fabricante. Este cobra 100 reais pela entrega e mais 15 reais por cada peça. Porém, o comerciante descobriu um novo fabricante que vende o mesmo tipo de peça, mas por 13 reais a unidade. O problema é que a taxa de entrega é de 150 reais. Se o comerciante pretende comprar 14 peças, qual fabricante oferece as melhores condições?

Exemplo 4: Uma piscina de 300 litros, vazia, recebe água a uma vazão constante. Imagine que você tenha um balde de 6 litros e que marcou o tempo que levava para encher o balde, 2 minutos. Quando a piscina ficará cheia?

Exemplo 5: Determine o número de múltiplos de 4 que estão entre 15 e 65.

Exemplo 6: Determine a probabilidade de se obter, em dois lançamentos de um dado, o número 2 e 3, independente da ordem.

As técnicas matemáticas para a resolução dos problemas acima são as mais variadas. Pode-se tentar usar trigonometria no exemplo 1, pode-se usar a tradução algébrica do problema do exemplo 2 para encontrar o tempo pedido, pode-se usar análise de gráficos no exemplo 3, pode-se usar regra de 3 no exemplo 4, pode-se usar progressão aritmética no exemplo 5, pode-se usar a teoria de probabilidade no exemplo 6.

Contudo, achar que só se pode resolver os problemas dados se as técnicas forem conhecidas é um grande engano. Qualquer pessoa que saiba contar pode resolver tranquilamente qualquer um dos problemas acima.

Vejamos o exemplo 2. À medida que o tempo passa, a cada minuto a temperatura diminui 12ºC. Assim, percorrendo os valores diminuídos de 12, a partir de 200ºC, temos: 188ºC, 176 ºC, 164 ºC, 152 ºC, 140ºC, 128ºC, 116ºC, 104ºC, 92ºC, 80ºC, 68ºC, 56ºC, 44ºC, 32ºC, 20ºC. Logo, após 15 minutos, o forno atinge a temperatura ambiente de 20ºC.

Existem dois aspectos na mensagem que estou passando. Em primeiro lugar, fique atento para este poderoso método matemático, muitas vezes negligenciado. Existem muitas situações no estudo matemático onde se pode aplicar contagens. Inclusive, existem situações não tão elementares como as ilustradas aqui. Um bom exemplo disso é o teorema de Lagrange para grupos, que diz que a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo. A demonstração deste fato para grupos finitos é um simples ato de contagem.

A minha dica para este caso é conhecer as propriedades da teoria dos conjuntos, principalmente sobre cardinalidade. Um bom exemplo é aquela que diz que n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A "interseção" B), onde n(X) representa o número de elementos de X.

O outro aspecto que quero levantar aqui é com relação ao ensino da Matemática. Se você já dá aula de Matemática, ou pretende dar aula, pense se não seria melhor para o processo de aprendizagem de um aluno primeiro lidar com questões de forma pura, sem uso de qualquer técnica, para só depois introduzir novas técnicas que eventualmente facilitem a vida do estudante.

Eu acredito que o uso sistemático de contagens pode ser um ótimo aliado na introdução de técnicas. Imagine ter que resolver um problema que custe tempo, espaço e esforço, quando se pode resolvê-lo com muito mais rapidez e facilidade. Por exemplo, se um aluno sabe expressar algebricamente o problema do exemplo 2, y = 200 - 12x, onde x representa o tempo decorrido e y a temperatura, e conhece as técnicas da Álgebra de manipulação de expressões então poderá resolvê-lo muito facilmente: 20 = 200 - 12x, donde x = 180/12 = 15. (Compare esta solução com a anterior, por contagem.) Este confronto de técnicas parece ser um bom recurso de ensino. Além do mais, me parece um crime, uma pessoa deixar de resolver uma questão porque não conhece a técnica sobre a questão.

Uma curiosidade: Uma vez, num concurso, me deparei com uma questão sobre área que envolvia um círculo grande e vários círculos no interior do círculo grande. Eu não tinha a menor idéia de como resolvê-la. Sem saber o que fazer, eu estimei o valor da área de um dos pequenos círculos (baseado no desenho mesmo) e depois contei as figuras dadas e obtive um valor final, que batia com uma das respostar da múltipla escolha. Acertei a questão.

A propósito, você consegue aplicar contagem nos outros problemas?

9 comentários:

  1. Caríssimo Ion, estou muito feliz de ver seu blog. E acredito que sua vocação de professor está sendo bem aproveitada, continue lutando para que a matemática possa chegar de uma maneira mais simples aos nossos jovens. Parabéns Doutor!
    Um Abraço, Luís

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  2. Muito bom, serei um visitante freqüente do Blog, Parabéns Ion,

    Abraço Joel.

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  3. Valeu, Luiz e Joel! Valeu, primeiros seguidores!
    Agora, não vale só visitar, é preciso participar.
    Já resolveram alguma questão por contagem?
    Abraços, Ion.

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  4. Parabéns, Ion!
    Agora, me sinto até encorajada a me aventurar em explorar a Matemática.

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  5. Exemplo 3: O Fabricante 1 tem as melhores condições, entretanto se o comerciante comprar a partir de 26 peças, será mais vantajoso comprar do Fabricante 2.

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  6. Exemplo 4: Em 1 hora e 40 minutos e usará 50 baldes.

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  7. Exemplo 5: 13 números múltiplos de 4.

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  8. Não sei fazer nem o 1 e nem o 6...aguardo explicações.

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