Sobre uma iniciação à Matemática - continuação

O conhecimento matemático, tradicionalmente, em termos históricos e escolares, se baseia em dois pilares: Geometria e números. No post do dia 05/09/2010, falou-se sobre qual seria um primeiro passo no estudo da Matemática, o processo de contagem. Esta é uma visão a partir de um conhecimento sobre números.

É interessante ampliar este processo de iniciação ao estudo da Matemática. Veja, com alguns exemplos, como a Geometria também pode aparecer naturalmente na construção de um bom conhecimento matemático.

Exemplo 1: Veja a figura a seguir.

Olhando os objetos da forma desordenada que estão, a única maneira de contar estes objetos é passando a vista por cada um deles, de um em um. Agora, olhe a figura a seguir, formada com os mesmos objetos, mas organizados numa forma retangular.

Ainda podemos contar objeto por objeto. Mas, vamos apenas contar só os objetos da base e da altura. Na base, temos 12 objetos. Na altura, temos 11. Assim, o total de objetos pode ser calculado por: Total de objetos = 12×11 = 131.

Exemplo 2: Você consegue contar rapidamente o número de quadrados na seguinte figura?

Sinceramente, não parece ser nada estimulante ter que contar todos estes quadrados, por mais simples que seja o processo de contagem. Será que não existe um atalho, uma forma econômica de resolver esta questão? Às vezes, quando nos deparamos com uma situação mais complicada, pode ser interessante tentar trabalhar com uma situação semelhante e mais simples. Veja as figuras a seguir.

Temos aqui três pilhas “triangulares” semelhantes ao desenho do exemplo, mas com menos quadrados (note o padrão de arrumação das pilhas, com cada coluna tendo um quadrado a mais do que a coluna anterior). Em todos os casos podemos estender a figura até obter um retângulo. Em cada retângulo obtido, a área da pilha triangular é metade da área do retângulo. Se a pilha triangular de quadrados tem n quadrados na base, o retângulo tem a base com n unidades e a altura com n + 1 unidades. Assim, a área do retângulo é dada por n(n + 1). Neste caso, a área da pilha triângular é n(n + 1)/2. Como a área é dada pelo número de quadrados unitários que compõem a figura, temos que a quantidade de quadrados em uma pilha triangular de quadrados com n quadrados na base é dada por n(n + 1)/2. Confira a fórmula com as 3 pilhas acima.

Se esta fórmula funciona mesmo, verificando que a pilha de quadrados do exemplo tem 32 quadrados na base, temos que a pilha tem ao todo 32(32 + 1)/2=1056/2=528. Você pode conferir o resultado contando cada quadrado, um por um.

Desafio: Dê uma expressão reduzida para a soma 1 + 2 + 3 + ... + n.

Observação: Caro visitante, é bom ficar claro que aqui é um espaço para alguns toques e até para discussões, mas não tenho o objetivo de esgotar assuntos, muito menos de dar explicações completas (dúvidas, ou críticas, podem (e devem) ser colocadas nos comentários). Meu propósito nestas postagens sobre iniciação é alertar para uma capacidade de resolver problemas que nós temos, independente de não conhecer determinada técnica matemática. Este alerta serve para nós mesmos, mas também serve para quando ensinamos (para o caso de quem é professor). O fato é que é possível resolver muito problema de Matemática, mesmo sabendo pouca Matemática.